Exercises: Absolute value function

How well do you know the absolute value function? Practice handling with absolute values by solving these exercises.

$f (x) = 3 \cdot (x^{2} - 4) \cdot (| x | + 1)$

Untersuche $f (x)$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

For this task you need the following basic knowledge: Funktion betragsfrei machen
$f (x) = 3 \cdot (x^{2} - 4) (| x | + 1)$
Um den Betrag zu eliminieren muss eine Fallunterscheidung ( für x $\geq$ 0 und x < 0 durchgeführt werden.
Fall x $\geq$ 0
Da x $\geq$ 0 ist, kann der Betrag weggelassen werden.
$f (x)$ $=$ $3 \cdot (x^{2} - 4) (x + 1)$
↓
Die Klammern ausmultiplizieren.
$=$ $3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12$
Fall x<0
Da x < 0 ist wird -x für $| x |$ eingesetzt.
$f (x)$ $=$ $3 \cdot (x^{2} - 4) (- x + 1)$
↓
Die Klammern ausmultiplizieren.
$=$ $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 12$
Stetigkeit
Für x>0 und x<0 ist f(x) stetig.
Untersucht werden muss nur der Fall x=0.
f(0) berechnen mit Fall x $\geq$ 0
$f (x)$ $=$ $3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12$
$f (0)$ $=$ $- 12$
Annäherung an 0 von links
$\lim_{x \to 0^{-}} f (x)$ $=$
↓
Es muss der Term ausgewählt werden, der für x<0 gilt.
$=$ $\lim_{x \to 0^{-}} (- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 12)$
↓
0 einsetzen.
$=$ $- 12$
Annäherung an 0 von rechts
$\lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ $=$
↓
Es muss der Term ausgewählt werden, der für x>0 gilt.
$=$ $\lim_{x \to 0^{+}} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12)$
↓
0 einsetzen.
$=$ $- 12$
$\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0) \Rightarrow$ f ist bei 0 stetig .
Differenzierbarkeit
$f (x) = 3 \cdot (x^{2} - 4) (| x | + 1)$
Es muss eine Fallunterscheidung für x durchgeführt werden.
Fall: x $\geq$ 0
Siehe Teilaufgabe a.
$f (x)$ $=$ $3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12$
↓
Erste Ableitung bilden.
$f ‘ (x)$ $=$ $9 x^{2} + 6 x - 12$
Fall: x<0
Siehe Teilaufgabe a.
$f (x)$ $=$ $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 12$
↓
Erste Ableitung bilden.
$f ´ (x)$ $=$ $- 9 x^{2} + 6 x + 12$
Fall x=0
Das Verhalten der Steigung an der Stelle x=0 muss wegen des Betrages gesondert untersucht werden. Hierzu muss man für diesen Punkt die Ableitung durch Annäherung von links und rechts betrachten.
Bei Annäherung von links, muss $f ‘ (x) = - 9 x^{2} + 6 x + 12$ betrachtet werden, da x<0.
$\lim_{x \to 0^{-}} (- 9 x^{2} + 6 x + 12)$ $=$ $12$
↓
Bei Annäherung von rechts, muss $f ‘ (x) = 9 x^{2} + 6 x - 12$ betrachtet werden, da x>0.
$\lim_{x \to 0^{+}} (9 x^{2} + 6 x - 12)$ $=$ $- 12$
$\Rightarrow$ Nicht differenzierbar, da $\lim_{x \to 0^{-}} f^{'} (x) \neq \lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x)$

Bestimme die Nullstellen der Funktion.

Bestimme die Wendepunkte und Art und Lage der Extrempunkte der Funktion.
Untersuche das Symmetrieverhalten des Graphen.

For this task you need the following basic knowledge: Symmetrie von Graphen
$f (x)$ $=$ $3 \cdot (x^{2} - 4) \cdot (| x | + 1)$
↓
-x für x einsetzen.
$f (- x)$ $=$ $3 \cdot ({(- x)}^{2} - 4) \cdot (| - x | + 1)$
$f (- x)$ $=$ $3 \cdot (x^{2} - 4) \cdot (| x | + 1)$
$f (- x)$ $=$ $f (x)$
$f (- x) = f (x)$ $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse
Alle weiteren Informationen findest Du linksoben unter "Was muss ich beachten?"
Hilfe zu den Funktionen des Editors findest Du oben rechts.

2
Untersuchen einer Betragsfunktion
Gegeben ist die Funktion $f (x) = (3 - | x |) (x + 1)$ .
Untersuche $f$ auf Stetigkeit.

For this task you need the following basic knowledge: Stetigkeit
Beginnen wir mit der Fallunterscheidung.
$x \geq 0$ bedeutet, $x$ nimmt einen positiven Wert an. Der Betrag ist damit überflüssig und der Funktionsterm ergibt sich zu:
$f_{x > 0} (x) = (3 - x) (x + 1) = - x^{2} + 2 x + 3$
$x < 0$ bedeutet, $x$ nimmt einen negativen Wert an. Der Betrag kann dann nur entfernt werden, wenn das Vorzeichen davor wechselt:
$f_{x < 0} (x) = (3 + x) (x + 1) = x^{2} + 4 x + 3$
Auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ ist $f_{x < 0}$ eine stetige Polynomfunktion. Auf $(0, \infty)$ ist $f_{x > 0}$ ebenfalls stetig. Die Frage ist, was ist mit der Stelle zwischendrin, $x = 0$ ?
Hierzu betrachte den Grenzwert von links (Welchen Funktionswert hat die Funktion $f_{x < 0}$ in dieser Stelle?):
$\lim_{x < 0} f_{x < 0} (0) = 0^{2} + 4 \cdot 0 + 3 = 3$
Hierzu betrachte den Grenzwert von rechts (Welchen Funktionswert hat die Funktion $f_{x > 0}$ in dieser Stelle?):
$\lim_{x > 0} f_{x > 0} (0) = - 0^{2} + 2 \cdot 0 + 3 = 3$
Der Funktionswert von $f$ ist:
$f (0) = (3 - | 0 |) (0 + 1) = 3$
Alle Werte stimmen überein und die Funktion $f$ ist damit in der Stelle $x = 0$ stetig und sogar insgesamt auf dem ganzen Definitionsbereich.
Mache eine Fallunterscheidung für $x < 0$ und $x > 0$ , wie sieht der Funktionsterm für diese Abschnitte aus? Für die Stetigkeit müssen rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte gleich dem Funktionswert sein. Wie sieht das für die Stelle $x = 0$ aus?

Untersuche $f$ auf Differenzierbarkeit.

For this task you need the following basic knowledge: Differenzierbarkeit
Aus dem ersten Aufgabenteil werden die Funktionen
$f_{x < 0} (x) = x^{2} + 4 x + 3$

und
$f_{x > 0} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

aufgegriffen. Die Ableitungen ergeben sich zu:
$f_{x < 0}^{'} (x) = 2 x + 4$
$f_{x > 0}^{'} (x) = - 2 x + 2,$
Diese sind differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich, der Knackpunkt ist hier also wieder die Stelle $x_{0} = 0$ . Die linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung in $x_{0} = 0$ ergibt sich zu:
$\lim_{x < 0} f_{x < 0}^{'} (0) = \lim_{x < 0} 2 \cdot 0 + 4 = 4$
$\lim_{x > 0} f_{x > 0}^{'} (0) = \lim_{x > 0} - 2 \cdot 0 + 2 = 2$
Diese Werte stimmen nicht überein, womit die Funktion nicht differenzierbar in $x_{0} = 0$ ist.
In welcher Stelle könnte die Funktion nicht differenzierbar sein? Eine Funktion heißt in einer Stelle $x_{0}$ differenzierbar, wenn ihre linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung gleich ist:
$\lim_{x < 0} f_{x < 0}^{'} (x_{0}) = \lim_{x > 0} f_{x > 0}^{'} (x_{0})$

Berechne die Nullstellen und Extrempunkte der Funktion $f$ .

For this task you need the following basic knowledge: Extrema berechnen
Nullstellen
Der Funktionsterm wird $0$ gesetzt: $0 = (3 - | x |) (x + 1)$ , wobei der Term auf der rechten Seite als Produkt formuliert ist. Hier lässt sich direkt der Satz des Nullprodukts anwenden:
$3 - | x | = 0 \Leftrightarrow x_{1 / 2} = \pm 3 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{3} = - 1$
Das Schaubild der Funktion hat drei Nullstellen $N_{1} (- 3 | 0), N_{2} (- 1 | 0), N_{3} (3 | 0)$ .
Extrema
Die Funktionen $f_{x < 0} (x), f_{x > 0} (x)$ werden jeweils auf Extrema untersucht, indem die Ableitung $0$ gesetzt wird und die hinreichenden Bedingungen (zweite Ableitung) hinzugezogen werden.
$f_{x < 0} (x) :$
$f_{x < 0}^{'} (x) = 2 x + 4$
$0 = 2 x + 4 \Leftrightarrow x = - 2$
Da die zweite Ableitung an jeder Stelle $f_{x < 0}^{''} (x) = 2 > 0$ ist, liegt ein Tiefpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die $y$ -Koordinate:
$f_{x < 0} (- 2) = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3 = - 1 \Rightarrow T P (- 2 | - 1)$
Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.
$f_{x > 0} (x) :$
$f_{x > 0}^{'} (x) = - 2 x + 2$
$0 = - 2 x + 2 \Leftrightarrow x = 1$
Da die zweite Ableitung an jeder Stelle $f_{x > 0}^{''} (x) = - 2 < 0$ ist, liegt ein Hochpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die $y$ -Koordinate:
$f_{x > 0} (1) = - 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = 4 \Rightarrow H P (1 | 4)$
Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.
Die Funktionen auf den Teilabschnitten $(- \infty, 0)$ und $(0, \infty)$ können einzeln jeweils auf Extrema untersucht werden. Für die Nullstelle lässt sich der Satz des Nullprodukts mit $f$ direkt anwenden.

Skizziere das Schaubild $G_{f}$ .

Mithilfe des Aufgabenteils (c) können Punkte in das Koordinatensystem übertragen werden, durch die das Schaubild der Funktion verläuft. Hierbei ist darauf zu achten, dass die Kurve in $x_{0} = 0$ einen Knick aufweist, da sie nach Teil (b) nicht differenzierbar ist.

$f (x)$	$=$	$3 \cdot (x^{2} - 4) (x + 1)$
	↓	Die Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12$

$f (x)$	$=$	$3 \cdot (x^{2} - 4) (- x + 1)$
	↓	Die Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 12$

$\lim_{x \to 0^{-}} f (x)$	$=$
	↓	Es muss der Term ausgewählt werden, der für x<0 gilt.
	$=$	$\lim_{x \to 0^{-}} (- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 12)$
	↓	0 einsetzen.
	$=$	$- 12$

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x)$	$=$
	↓	Es muss der Term ausgewählt werden, der für x>0 gilt.
	$=$	$\lim_{x \to 0^{+}} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12)$
	↓	0 einsetzen.
	$=$	$- 12$

$f (x)$	$=$	$3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12$
	↓	Erste Ableitung bilden.
$f ‘ (x)$	$=$	$9 x^{2} + 6 x - 12$

$\lim_{x \to 0^{-}} (- 9 x^{2} + 6 x + 12)$	$=$	$12$
	↓	Bei Annäherung von rechts, muss $f ‘ (x) = 9 x^{2} + 6 x - 12$ betrachtet werden, da x>0.
$\lim_{x \to 0^{+}} (9 x^{2} + 6 x - 12)$	$=$	$- 12$

$3 \cdot (x^{2} - 4) (x + 1)$	$=$	$0$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel um $x^{2} - 4$ aufzulösen.
$3 \cdot (x + 2) (x - 2) (x + 1)$	$=$	$0$
	↓	Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
$x_{1}$	$=$	$- 2$
$x_{2}$	$=$	$2$
	↓	Nur $x_{2} = 2$ ist hier eine gültige Lösung, da >0.
$x_{3}$	$=$	$- 1$

$3 \cdot (x^{2} - 4) (- x + 1)$	$=$	$0$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel um $x^{2} - 4$ aufzulösen.
$3 \cdot (x + 2) (x - 2) (- x + 1)$	$=$	$0$
	↓	Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
$x_{1}$	$=$	$- 2$
	↓	Nur $x_{1} = - 2$ ist hier eine gültige Lösung, da <0.
$x_{2}$	$=$	$2$
$x_{3}$	$=$	$1$

$f (x)$	$=$	$3 \cdot (x^{2} - 4) \cdot (\| x \| + 1)$
	↓	-x für x einsetzen.
$f (- x)$	$=$	$3 \cdot ({(- x)}^{2} - 4) \cdot (\| - x \| + 1)$
$f (- x)$	$=$	$3 \cdot (x^{2} - 4) \cdot (\| x \| + 1)$
$f (- x)$	$=$	$f (x)$

Exercises: Absolute value function

Fall x ≥ 0

Fall x<0

Stetigkeit

f(0) berechnen mit Fall x ≥ 0

Annäherung an 0 von links

Annäherung an 0 von rechts

Differenzierbarkeit

Fall: x ≥ 0

Fall: x<0

Fall x=0

Fall: x ≥ 0

Fall: x<0

Untersuchen einer Betragsfunktion

Nullstellen

Extrema

Fall x $\geq$ 0

f(0) berechnen mit Fall x $\geq$ 0

Fall: x $\geq$ 0

Fall: x $\geq$ 0