Exercises: Intersecting parabolas with parabolas or other lines

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzen und alles auf eine Seite bringen.

$f(x)=g(x)$

$\frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{11,9}x+\mathrm{6,7}=\mathrm{11,75}x+\mathrm{10,48}$ $|-\mathrm{11,75}x$

$\frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{0,15}x+\mathrm{6,7}=\mathrm{10,48}$ $|-\mathrm{10,48}$

$\frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{0,15}x-\mathrm{3,78}=0$

Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\mathrm{0,15}\pm \sqrt{{\mathrm{0,15}}^2-4\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot (-\mathrm{3,78})}}{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}}=\frac{-\mathrm{0,15}\pm \mathrm{1,95}}{\mathrm{0,5}}}$$

Somit ergeben sich die zwei x-Koordinaten: $x_1=\mathrm{3,6}$ und $x_2=-\mathrm{4,2}$

Diese Werte muss man nun noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.

$\begin{array}{l}{x}_1:\end{array}$

$g(\mathrm{3,6})=\mathrm{11,75}\cdot \mathrm{3,6}+\mathrm{10,48}=\mathrm{52,78}$

$=>S_1(\mathrm{3,6}/\mathrm{52,78})$

$\begin{array}{l}{x}_2:\end{array}$

$g(-\mathrm{4,2})=\mathrm{11,75}\cdot (-\mathrm{4,2})+\mathrm{10,48}=-\mathrm{38,87}$

$=>S_2(-\mathrm{4,2}/-\mathrm{38,87})$

Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen: $S_1(\mathrm{3,6}|\mathrm{52,78})$ und $S_2(-\mathrm{4,2}|-\mathrm{38,87})$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.

$t(x)=h(x)$

$x^2+3x+14=-\mathrm{2,5}x+8$ $|+\mathrm{2,5}x$

$x^2+\mathrm{5,5}x+14=8$ $|-8$

$x^2+\mathrm{5,5}x+6=0$

Nun haben wir soweit aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\mathrm{5,5}\pm \sqrt{{\mathrm{5,5}}^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}=\frac{-\mathrm{5,5}\pm \mathrm{2,5}}{2}}$$

Somit ergeben sich zwei x-Koordinaten: $x_1=-\mathrm{1,5}$ und $x_2=-4$

Diese Werte muss man nur noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.

$x_1:$

$h(-\mathrm{1,5})=-\mathrm{2,5}\cdot (-\mathrm{1,5})+8=\mathrm{11,75}$

$=>S_1(-\mathrm{1,5}|\mathrm{11,75})$

$x_2:$

$h(-4)=-\mathrm{2,5}\cdot (-4)+8=18$

$=>S_2(-4|18)$

Somit hat man die Schnittpunkte der beiden Funktionen: $S_1(-\mathrm{1,5}|\mathrm{11,75})$ und $S_2(-4|18)$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:

$\begin{array}{cccc}e\left(x\right)& =& h\left(x\right)& \\ \frac{1}{4}{x}^2+2x-\mathrm{4,36}& =& \mathrm{1,2}x+4& |-\mathrm{1,2}x\\ \frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{0,8}x-\mathrm{4,36}& =& 4& |-4\\ \frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{0,8}x-\mathrm{8,36}& =& 0& \end{array}$

Jetzt lassen sich die Nullstellen mit der Mitternachtsformel bestimmen.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\mathrm{0,8}\pm \sqrt{{\mathrm{0,8}}^2-4\cdot \frac{1}{4}\cdot (-\mathrm{8,36})}}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{-\mathrm{0,8}\pm 3}{\frac{1}{2}}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow x_1=\mathrm{4,4};x_2=-\mathrm{7,6}}$$

Einsetzen dieser zwei $x$-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen$y$-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:

$\begin{array}{cccl}\mathrm{h}\left(\mathrm{4,4}\right)& =& \mathrm{9,28}& \Rightarrow \mathrm{A}\left(\mathrm{4,4}|\mathrm{9,28}\right)\\ \mathrm{h}(-\mathrm{7,6})& =& -\mathrm{5,24}& \Rightarrow \mathrm{B}(-\mathrm{7,6}|-\mathrm{5,24})\end{array}$

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:

$\begin{array}{cccc}m\left(x\right)& =& n\left(x\right)& \\ \frac{9}{4}{x}^2-\mathrm{6,25}x-\mathrm{9,2}& =& -\mathrm{1,3}x-2& |+2\\ \frac{9}{4}{x}^2-\mathrm{6,25}x-\mathrm{7,2}& =& -\mathrm{1,3}x& |+\mathrm{1,3}x\\ \frac{9}{4}{x}^2-\mathrm{4,95}x-\mathrm{7,2}& =& 0& \end{array}$

Jetzt lassen sich die Nullstellen mit der Mitternachtsformel bestimmen.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{\mathrm{4,95}\pm \sqrt{(-\mathrm{4,95}{)}^2-4\cdot \frac{9}{4}\cdot (-\mathrm{7,2})}}{2\cdot \frac{9}{4}}=\frac{\mathrm{4,95}\pm \mathrm{9,45}}{\frac{9}{2}}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow x_1=\mathrm{3,2};x_2=-1}$$

Einsetzen dieser zwei $x$-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen$y$-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:

$\begin{array}{cccl}\mathrm{n}\left(\mathrm{3,2}\right)& =& -\mathrm{6,16}& \Rightarrow \mathrm{A}(\mathrm{3,2}|-\mathrm{6,16})\\ \mathrm{n}(-1)& =& -\mathrm{0,7}& \Rightarrow \mathrm{B}(-1|-\mathrm{0,7})\end{array}$

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.

$f(x)=g(x)$

$\frac{1}{2}{x}^2+2x-10=-\frac{1}{2}{x}^2+5$ $|+\frac{1}{2}{x}^2$

$x^2+2x-10=5$ $|-5$

$x^2+2x-15=0$

Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man jetzt die Mitternachtsformel anwenden.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-15)}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm 8}{2}}$$

Somit ergeben sich die beiden x-Koordinaten: $x_1=-5$ und $x_2=3$

Diese Werte muss man nur noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.

$x_1$ :

$g(-5)=-\frac{1}{2}\cdot (-5{)}^2+5=-\mathrm{7,5}$

$=>S_1=(-5|-\mathrm{7,5})$

$x_2$ :

$g(3)=-\frac{1}{2}\cdot 3^2+5=\mathrm{0,5}$

$=>S_2=(3|\mathrm{0,5})$

Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen $S_1(-5|-\mathrm{7,5})$ und $S_2(3|\mathrm{0,5})$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzen und alles auf eine Seite bringen.

$e(x)=l(x)$

$2x^2-4x+\mathrm{1,9}=x^2+\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ $|-x^2$

$x^2-4x+\mathrm{1,9}=\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ $|-\mathrm{0,1}x$

$x^2-\mathrm{4,1}x+\mathrm{1,9}=-\mathrm{0,2}$ $|+\mathrm{0,2}$

$x^2-\mathrm{4,1}x+\mathrm{2,1}=0$

Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-(-\mathrm{4,1})\pm \sqrt{(-\mathrm{4,1}{)}^2-4\cdot 1\cdot \mathrm{2,1}}}{2\cdot 1}=\frac{\mathrm{4,1}\pm \mathrm{2,9}}{2}}$$

Somit ergeben sich die zwei $x$-Koordinaten:$x_1=\mathrm{3,5}$ und $x_2=\mathrm{0,6}$

Diese Werte muss man nun noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.

$x_1$ :

$l(\mathrm{3,5})={\mathrm{3,5}}^2+\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{3,5}-\mathrm{0,2}=\mathrm{12,4}$

$=>S_1(\mathrm{3,5}|\mathrm{12,4})$

$x_2$ :

$l(\mathrm{0,6})={\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,6}-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,22}$

$=>S_2(\mathrm{0,6}|\mathrm{0,22})$

Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen $S_1(\mathrm{3,5}|\mathrm{12,4})$ und $S_2(\mathrm{0,6}|\mathrm{0,22})$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:

$\begin{array}{cccc}r\left(x\right)& =& s\left(x\right)& \\ \frac{3}{4}{x}^2+2x-10& =& \frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{1,5}x-4& |+4\\ \frac{3}{4}{x}^2+2x-6& =& \frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{1,5}x& |-\mathrm{1,5}x\\ \frac{3}{4}{x}^2+\mathrm{0,5}x-6& =& \frac{1}{4}{x}^2& |-\frac{1}{4}{x}^2\\ \frac{2}{4}{x}^2+\mathrm{0,5}x-6& =& 0& \end{array}$

Nun suchst du die Nullstellen der neuen Funktion $\frac{2}{4}{x}^2+\mathrm{0,5}x-6$.Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt, kann man die Nullstellen durch die Mitternachtsformel berechnen.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\mathrm{0,5}\pm \sqrt{{\mathrm{0,5}}^2-4\cdot \frac{2}{4}\cdot (-6)}}{2\cdot \frac{2}{4}}=\frac{-\mathrm{0,5}\pm \mathrm{3,5}}{1}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow x_1=3;x_2=-4}$$

Einsetzen dieser zwei $x$-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen$y$-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:

$\begin{array}{cccl}\mathrm{s}\left(3\right)& =& \mathrm{2,75}& \Rightarrow \mathrm{A}\left(3|\mathrm{2,75}\right)\\ \mathrm{s}(-4)& =& -6& \Rightarrow \mathrm{B}(-4|-6)\end{array}$

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:

$\begin{array}{cccc}t\left(x\right)& =& u\left(x\right)& \\ \frac{10}{9}{x}^2-\frac{4}{3}x-11& =& x^2-2x-8& |+8\\ \frac{10}{9}{x}^2-\frac{4}{3}x-3& =& x^2-2x& |+2x\\ \frac{10}{9}{x}^2+\frac{2}{3}x-3& =& x^2& |-x^2\\ \frac{1}{9}{x}^2+\frac{2}{3}x-3& =& 0& \end{array}$

Nun suchst du die Nullstellen der neuen Funktion $\frac{1}{9}{x}^2+\frac{2}{3}x-3$.Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt, kann man die Nullstellen durch die Mitternachtsformel berechnen.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\frac{2}{3}\pm \sqrt{{\frac{2}{3}}^2-4\cdot \frac{1}{9}\cdot (-3)}}{2\cdot \frac{1}{9}}=\frac{-\frac{2}{3}\pm \frac{4}{3}}{\frac{2}{9}}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow x_1=3;x_2=-9}$$

Einsetzen dieser zwei $x$-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen$y$-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:

$\begin{array}{cccl}u\left(3\right)& =& -5& \Rightarrow \mathrm{A}(3|-5)\\ u(-9)& =& 91& \Rightarrow \mathrm{B}(-9|91)\end{array}$