Vertex of a parabola

The vertex is the highest or lowest point (extreme point) of a parabola.

Eigenschaften des Scheitelpunkts

Der Scheitelpunkt ist das Maximum der Funktion, wenn die Parabel nach unten geöffnet ist und Minimum der Funktion, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.
Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Parallelen zur y-Achse durch den Scheitelpunkt.

Example

$f (x) = (x - 2)^{2} + 1$

Der Scheitelpunkt lautet $S (2 | 1)$ und ist hier ein Minimum, da die Parabel nach oben geöffnet ist.
Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Geraden $x = 2$ .

Scheitelpunkt

Bestimmung des Scheitelpunkts

Es gibt vier unterschiedliche Methoden zur Bestimmung des Scheitelpunktes:

anhand der Scheitelform
anhand der allgemeinen Form
mithilfe der Ableitung (fortgeschritten)
anhand der Nullstellen (nicht immer anwendbar)

1. Bestimmung anhand der Scheitelform

Wenn sich die Funktion schon in Scheitelform (Scheitelpunktform) befindet, kann der Punkt einfach abgelesen werden:

Scheitelpunktsform: $f (x) = a (x - d)^{2} + e$
Scheitelpunkt: $S (d | e)$

Example

Achte auf die unterschiedlichen Vorzeichen der Funktionen!

Aus der Funktion $2 {(x - 1)}^{2} - 3$ lässt sich $d = 1$ und $e = - 3$ ablesen. Der Scheitelpunkt befindet sich folglich am Punkt $S (1 | - 3)$ .
Ist die Funktion ${(x - 2)}^{2} + 4$ , folgt $d = 2$ und $e = 4$ . Somit ist der Scheitelpunkt bei $S (2 | 4)$ .
Ist die Funktion ${(x + 1)}^{2} + 4$ , folgt $d = - 1$ und $e = 4$ . Somit ist der Scheitelpunkt bei $S (- 1 | 4)$ .

Umwandlung in Scheitelform

Falls die Gleichung noch nicht in Scheitelform ist, kann man sie mit der quadratischen Ergänzung oder anderen Umformungen (Ausmultiplizieren, Ausklammern, binomische Formel) in Scheitelform bringen und dann, wie oben bereits erklärt, den Scheitelpunkt ablesen.

2. Bestimmung anhand der allgemeinen Form

Mithilfe der folgenden Formel kann man den Scheitelpunkt auch direkt aus der allgemeinen Form berechnen.

Allgemeine Form: $f (x) = a x^{2} + b x + c$

Formel für den Scheitelpunkt

$S (- \frac{b}{2 \cdot a} | c - \frac{b^{2}}{4 \cdot a})$

Example

Es soll nun der Scheitelpunkt der Funktion $f (x) = 2 x^{2} + x - 3$ anhand der Formel bestimmt werden.

$f (x) = 2 x^{2} + x - 3$

Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.

$a = 2, b = 1, c = - 3$

Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.

$S (- \frac{1}{2 \cdot 2} | - 3 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

$S (- \frac{1}{4} | - \frac{25}{8})$

Umwandeln in die allgemeine Form

Falls die Gleichung noch nicht in der allgemeinen Form ist, kann man sie durch Umformungen wie Ausmultiplizieren, Ausklammern, binomische Formel in die allgemeine Form bringen und dann, wie oben bereits erklärt, den Scheitelpunkt durch die Formel berechnen.

3. Bestimmung mit der Ableitung (fortgeschritten)

Die Steigung der Parabel ist am Scheitelpunkt gleich $0$ . Deshalb kann der Scheitel einer Parabel auch mit der Ableitung berechnet werden, da der Scheitel stets das Extremum der quadratischen Funktion ist.

Example

Es soll der Scheitelpunkt von $f (x) = x^{2} + 2 x + 4$ mittels der Methode Bestimmung mit der Ableitung berechnet werden.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 4$

Leite die Funktion $f$ ab.

$f^{'} (x) = 2 x + 2$

Bestimme für die Extremstelle die Nullstelle der ersten Ableitung, das bedeutet $f^{'} (x) = 0$ .

$f^{'} (x)$	$=$	$0$
	↓	Setze $f^{'} (x)$ ein und löse nach $x$ auf.
$2 x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$2 x$	$=$	$- 2$	$: 2$
$x$	$=$	$- 1$

Dies ist die Extremstelle. Wir haben hier eine nach oben geöffnete Parabel, daher ist $x = - 1$ die Minimalstelle. Berechne den zugehörigen $y$ -Wert, indem du $x = - 1$ in die Funktion einsetzt.

$f (- 1)$	$=$	${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 4$
	$=$	$1 - 2 + 4$
	$=$	$3$

Schreibe den Scheitelpunkt hin.

$S (- 1 | 3)$

4. Bestimmung anhand der Nullstellen

Vorsicht! Diese Methode funktioniert nur, falls die Parabel Nullstellen hat.

Wenn die Parabel zwei Nullstellen hat, so liegt der Scheitel genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen, da alle Parabeln achsensymmetrisch sind.
Wenn die Parabel nur eine Nullstelle hat, dann ist diese der x-Wert $x_{s}$ des Scheitels.
Wenn die Parabel keine Nullstellen hat, funktioniert diese Methode NICHT!

Example

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

f (x) = 0,5 \cdot x^{2} - 4,5

anhand seiner Nullstellen.

Berechne die Nullstellen von $f$ .

$f (x)$	$=$	$0$
$0,5 \cdot x^{2} - 4,5$	$=$	$0$	$+ 4,5$
$0,5 x^{2}$	$=$	$4,5$	$\cdot 2$
$x^{2}$	$=$	$9$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$x$	$=$	$\pm \sqrt{9}$
$x$	$=$	$\pm 3$

$x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 3$

Die Nullstellen von $f$ sind $- 3$ und $3$ . Der $x$ -Wert des Scheitels $x_{s}$ liegt in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen. Die Zahl $0$ liegt zwischen $- 3$ und $3$ .

Nullstellen von $f$ (schwarz) und $x$ -Wert des Scheitels mittig (rot)

Also ist $x_{s} = 0$ .

Bestimme nun den $y$ -Wert des Scheitels $y_{s}$ , indem du den $x$ -Wert in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.

$y_{s}$	$=$	$f (x_{s})$
	↓	Setze $x_{s} = 0$ ein.
	$=$	$f (0)$
	↓	Setze $x = 0$ in $f (x) = 0,5 \cdot x^{2} - 4,5$ ein.
	$=$	$0,5 \cdot 0^{2} - 4,5$
	$=$	$0 - 4,5$
	$=$	$- 4,5$