Completing the square

Completing the square is a technique to transform a quadratic term.

It starts with a term of the form $a x^{2} + b x + c$ and at the end of the transformation you end up with $a (x - d)^{2} + e$ .

$a x^{2} + b x + c \Rightarrow a {(x - d)}^{2} + e$

Die quadratische Ergänzung wird verwendet, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden oder ihre Nullstellen zu bestimmen. Sie kann auch benutzt werden, um quadratische Gleichungen zu lösen.

Vorgehensweise am Beispiel

Quadratische Ergänzung des Terms $12 x + 17 + 2 x^{2}$

Vorgehen	Term
	$12 x + 17 + 2 x^{2}$
1) Sortieren Sortiere den Term absteigend nach den Potenzen von $x$ . $x^{2} \to x \to$ Konstanten Hier: $2 x^{2}$ nach vorne bringen	$= 2 x^{2} + 12 x + 17$
2) Ausklammern Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei Termen, die ein $x$ enthalten, ausklammern. $\to$ Faktorisieren	$= 2 (x^{2} + 6 x) + 17$
3) Ergänzen Den Term in der Klammer kannst du nun so umformen, dass er wie ein Teil einer binomischen Formel aussieht. Teile dafür den Vorfaktor von $x$ durch $2$ , und schreibe dein Ergebnis als zweimal diese Zahl. Hier: $6 x = 2 \cdot 3 x$ Nun musst du nur noch eine Konstante ergänzen, um eine binomische Formel zu erhalten. Um den Wert des Terms nicht zu verändern, musst du diese Konstante aber auch wieder abziehen. Er dient dir nur zum Umformen. Hier: $6 x = 2 \cdot 3 x \Rightarrow$ ergänzen mit $3^{2} = 9$ und ziehe $3^{2}$ wieder ab.	$= 2 (x^{2} + 2 \cdot 3 x + 𝟑^{2} - 𝟑^{2}) + 17$
4) Zusammenfassen Mithilfe der Binomischen Formeln kannst du nun Teile des Terms zusammenfassen. Hier: Der Term $x^{2} + 2 \cdot 3 x + 3^{2}$ ist eine aufgelöste erste binomische Formel.	$= 2 ((𝒙 + 𝟑)^{𝟐} - 3^{2}) + 17$
5) Klammer ausmultiplizieren Multipliziere nun die Klammer aus, welche keine binomische Formel enthält. Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden $(x + 3)^{2}$ und $(- 9)$	$= 2 (x + 3)^{2} - 𝟏𝟖 + 17$
6) Rechte Summe ausrechnen Berechne den Wert der Konstanten. Hier: $- 18 + 17 = - 1$ Das Ergebnis ist die sog. Scheitelform	$= 2 (x + 3)^{2} - 𝟏$

Veranschaulichung der Vorgehensweise durch Applet

Beachte: GeoGebra rundet alle Werte auf 2 Nachkommastellen. Es können daher in der Anzeige Ungenauigkeiten entstehen, das Applet selbst rechnet aber mit den genauen Werten weiter.

Damit die Funktionsterme korrekt angezeigt werden, bitte nur Zahlen mit höchstens 3 Ziffern angeben, sonst gibt es Überlappungen.

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Sonderfall $b x = 0$

Wenn der lineare Term $b x$ fehlt, lautet die Ausgangsgleichung $a x^{2} + c = 0$ .

Hier gibt es keinen x-Term. Es fehlt also der Ausdruck, dessen Vorfaktor man bei der quadratischen Ergänzung halbieren und quadrieren muss.

Deshalb die Überlegung: Wann fällt bei einer binomischen Formel ${(w + z)}^{2} = w^{2} + 2 w z + z^{2}$ der gemischte Term weg?

$\begin{array}{l} 2 w z = 0 \Leftrightarrow w = 0 oder z = 0 \end{array}$ , denn ein Produkt (hier: $w z$ ) ist genau dann $0$ , wenn eines der Faktoren (hier: $w$ bzw. $z$ ) null ist.

Da $w^{2} = x^{2}$ und damit $w = x$ nicht $0$ ist, muss also $z = 0$ sein.

Man müsste also mit $z^{2} = 0^{2} = 0$ ergänzen - ein überflüssiger Vorgang.

Betrachtet man jetzt noch einmal die Ausgangsgleichung, dann erkennt man, dass bereits die Scheitelform gegeben ist, denn $a x^{2} + c = a {(x + 0)}^{2} + c$ .

Wozu dient die quadratische Ergänzung?

Scheitelpunkt bestimmen

Mithilfe der Scheitelform kann man direkt den Scheitelpunkt berechnen.

Ist die Scheitelform $a {(x - d)}^{2} + e$ , so liegt der Scheitelpunkt bei $(d | e)$ .

Lösungen einer quadratischen Gleichung

Eine normale quadratische Gleichung der Form ${ax}^{2} + bx + c = 0$ kann man nicht ohne Weiteres lösen, da die gesuchte Variable x sowohl im Quadrat, als auch linear vorkommt. In der Scheitelform ist dieses Problem behoben. Die Variable steht nur noch einmal in der binomischen Formel.

Das ermöglicht ein Lösungsverfahren mit Wurzelziehen.

Beispiel: $3 (x - 1)^{2} - 12 = 0$
	↓
$3 {(x - 1)}^{2} - 12$	$=$	$0$	$+ 12$
$3 {(x - 1)}^{2}$	$=$	$12$	$: 3$
${(x - 1)}^{2}$	$=$	$4$	$\sqrt{}$
$x - 1$	$=$	$\pm 2$	$+ 1$
$x$	$=$	$\pm 2 + 1$
$L$	$=$	${- 1; 3}$

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