General power function

A power function is a function whose function term has the form $f (x) = a \cdot x^{s}$ with $a, s \in ℝ$ .

Examples

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = 2 x^{- 5} = \frac{2}{x^{5}}$

$h (x) = x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$p (x) = \frac{1}{5} x$

The graph of a power function looks quite different for different values of $a$ and $s$ . For example, it can be a graph of a polynomial (e.g. a line or a parabola), a hyperbola or the graph of a root function.

Definitionsbereich

Ist $s$ nicht aus den ganzen Zahlen, dann ist $x^{s}$ für negative Zahlen nicht definiert, d.h. im Definitionsbereich sind nur positive Zahlen. Ist $s < 0$ , so ist. $x^{s} = \frac{1}{x^{- s}}$ . Da 0 nicht im Nenner stehen darf, ist die Funktion für $x = 0$ nicht definiert, d.h. die Null muss aus dem Definitionsbereich genommen werden.

Maximaler Definitionsbereich von Potenzfunktionen:

	$s \in ℤ$	$s \notin ℤ$
$𝐬 \geq 𝟎$	$ℝ$	$ℝ_{0}^{+}$
$𝐬 < 𝟎$	$ℝ \ {0}$	$ℝ^{+}$

Animation

für $s \in ℤ$

In der folgenden Animation siehst du, wie sich der Graph verändert für verschiedene Wert von $a$ und $s$ mit $s \in ℤ$ . Verwende den orangen und türkisen Schieberegler, um Werte von $a$ und $s$ zu verändern.

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für $s \in ℝ$

In dieser Animation siehst du ebenfalls, wie sich der Graph verändert für verschiedene Wert von $a$ und $s$ . Hier ist $s$ jedoch nicht nur aus den ganzen Zahlen, sondern $s \in ℝ$ . Verwende den orangen und lila Schieberegler, um Werte von $a$ und $s$ zu verändern.

Spezialfälle

$s$	$a$	Beispiel	Spezialform von
$s \in ℤ, s < 0$	$a \in ℝ$	$f (x) = 5 \cdot x^{- 3}$	gebrochen-rationale Funktion
$s = 0$	$a \in ℝ$	$f (x) = 7$	konstante Funktion
$s = 1$	$a \in ℝ$	$f (x) = \frac{1}{8} x$	lineare Funktion
$s \in ℤ, s > 0$	$a \in ℝ$	$f (x) = 3 x^{2}$	Polynom
$s = \frac{1}{n}, n \in ℕ$	$a \in ℝ$	$f (x) = 13 x^{\frac{1}{5}}$	Wurzelfunktion

$𝒔 \in ℤ$ und $𝒔 < 0$

Der Graph ist an der Polstelle 0 zweigeteilt (nicht stetig). Ist der Exponent ungerade, gibt es dort einen Vorzeichenwechsel, bei geradem Exponenten nicht.

Die Funktion ist eine besondere gebrochen-rationale Funktion mit einem konstanten Term im Zähler $f (x) = \frac{a}{x^{t}}$ (mit $t \in ℤ, t > 0$ ).

Beispiel:

$f (x) = 4 \cdot x^{- 2} = 4 \cdot \frac{1}{x^{2}} = \frac{4}{x^{2}}$

$𝒔 = 0$

Die Funktion verläuft konstant mit dem y-Wert $a$ , da $x^{0} = 1$ und $a \cdot x^{0} = a$ . Die Funktion ist eine konstante Funktion.

Beispiel:

$f (x) = 12 \cdot x^{0} = 12 \cdot 1 = 12$

$𝒔 = 1$

$f (x)$ ist eine lineare Funktion der Form: $f (x) = a \cdot x$ .

$𝒔 \in ℤ$ und $𝒔 > 0$

Die Funktion ist ein Polynom mit nur einem Summanden.

Beispiel:

$f (x) = 7 x^{2}$

$𝒔 = \frac{𝟏}{𝐧}$ mit $𝒏 \in ℕ$

Die Funktion wird Potenzfunktion mit rationalem Exponenten genannt und kann zu einer Wurzelfunktion umgeformt werden.

$f (x) = a \cdot x^{s} = a \cdot x^{\frac{1}{n}} = a \cdot \sqrt[n]{x}$

Beispiel:

$s = \frac{1}{3}, a = 1$ :

$f (x) = 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} = 1 \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x}$

Ableitung

Die Ableitung der Potenzfunkton $f (x) = a \cdot x^{s}$ berechnest du so:

f^{'} (x) = a \cdot s \cdot x^{s - 1}

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Definitionsbereich

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für s∈ℤ

für s∈ℝ

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