Sine and Cosine function

The sine and cosine functions are mathematical functions that can be used both

on the right-angled triangle, as well as
in circular geometry (trigonometry on the unit circle).

Due to the shape of their graphs, they also play an important role in the mathematical description of waves and oscillations.

Eigenschaften

Der Sinus und der Kosinus haben beide

den gleichen Definitionsbereich (nämlich die reellen Zahlen)
den gleichen Wertebereich (das Intervall $[- 1,1]$ ) und sind beide
periodische Funktionen mit der Periode $2 π$ .

Außerdem ist der Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung, und der Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Al hacer clic en la imagen o en el botón superior, aceptas que se cargará el contenido externo de provider . También los datos personales pueden ser transferidos a este servicio de acuerdo con nuestro Política de privacidad.

	Sinus	Kosinus
Nullstellen
	Man sieht an den Schnittpunkten mit der x-Achse, dass für jedes $k \in ℤ$ gilt: $\sin (k \cdot π) = 0$ Das heißt $\to {\dots, - π, 0, π, 2 π, 3 π, \dots}$ sind die Nullstellen des Sinus.	Hier sieht man an den Schnittpunkten mit der x-Achse, dass für alle $k \in ℤ$ gilt: $c o s (\frac{π}{2} + k \cdot π) = 0$ Das heißt $\to {\dots, - \frac{π}{2}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}, \dots}$ sind die Nullstellen vom Kosinus.
Extrema (max. und min.)
Extrema: Maximum	$\sin (\frac{4 k + 1}{2} \cdot π) = 1 f \ddot{u} r k \in ℤ$ , das heißt ${\dots, - \frac{7 π}{2}, - \frac{3 π}{2}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{2}, \frac{9 π}{2}, \dots}$ sind die Maxima vom Sinus.	$\cos (2 k \cdot π) = 1 mit k \in$ ℤ, das heißt ${\dots, - 4 π, - 2 π, 0,2 π, 4 π, \dots}$ sind die Maxima vom Kosinus.
Extrema: Minimum	$\sin (\frac{4 k - 1}{2} \cdot π) = - 1 f \ddot{u} r k \in ℤ$ das heißt ${\dots, - \frac{9 π}{2}, - \frac{5 π}{2}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{2}, \dots}$ sind die Minima.	$\cos (2 k \cdot π + π) = - 1 mit k \in ℤ$ das heißt ${\dots, - 3 π, - π, π, 3 π, 5 π, \dots}$ sind die Minima.
Zusammenhang zw. sin(x) und cos(x)	Wenn man den Graphen der Sinusfunktion um $\frac{π}{2}$ nach links oder um $\frac{3 π}{2}$ nach rechts verschiebt, ist er deckungsgleich mit dem Graphen der Kosinusfunktion. Das heißt $\sin (x + \frac{π}{2}) = \cos (x) = \sin (x - \frac{3 π}{2})$ .	Wenn man den Graphen der Kosinusfunktion um $\frac{3 π}{2}$ nach links oder um $\frac{π}{2}$ nach rechts verschiebt, ist er deckungsgleich mit dem Graphen der Sinusfunktion. Das heißt $\cos (x - \frac{π}{2}) = \sin (x) = \cos (x + \frac{3 π}{2})$ .

Beispielaufgaben

Skizziere die veränderte Sinusfunktion $f (x) = 2 \cdot \sin (x - \frac{π}{2})$ im Definitionsbereich $[- \frac{π}{2}, \frac{5 π}{2}]$ in ein Koordinatensystem und lies ihren Wertebereich, Nullstellen und Extremstellen ab.

Tipp: Im Artikel Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen findet man, was die $2$ vor dem sin und das $π / 2$ mit dem Graphen machen.

Lösung

Hier hast du eine Sinusfunktion mit Amplitude $2$ , welche um $\frac{π}{2}$ nach rechts verschoben wurde.

Lies das Gesuchte aus dem Graphen ab.

Wertebereich: $[- 2,2]$

Nullstellen: $- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}$

Extremstellen: $0, π, 2 π$

Video zu Sinus-, Kosinus-, und Tangensfunktion

Exercises

You can find more exercises in the following folder::
Gemischte Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Still want more?

You can find more content on this topic here:

Articles

Videos

Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

This content is licensed under
CC BY-SA 4.0 → What does that mean? serlo.org