Relationship between general form coefficients and the parabola

The coefficients $a, b, c$ in the general form

f (x) = a x^{2} + b x + c

have different influences on the parabola. When $a$ , $b$ , and $c$ are changed, shifts and stretchings will occur, which caracterise position and shape of the parabola.

Parameter der Funktionsgleichung in der allgemeinen Form

Es ist eher unüblich, die Veränderung der Parabel anhand der allgemeinen Form zu beschreiben, nichtsdestotrotz ist das möglich.

Was bedeuten die Koeffizienten in der allgemeinen Form?

Zur Erinnerung: Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist:

f (x) = a x^{2} + b x + c

Parameter a: Richtung der Öffnung, Streckung und Stauchung. Der Parameter $a$ ist hier identisch mit dem Parameter $a$ in der Scheitelform.

Parameter b: Verschiebung. Der Parameter $b$ verschiebt die komplette Parabel sowohl in $x$ - als auch in $y$ -Richtung.

Die folgende Tabelle zeigt dir, wie sich der Scheitelpunkt (und damit die ganze Parabel) in $x$ - und in $y$ -Richtung verschiebt, wenn du $b$ um 1 erhöhst, bzw. $b$ um 1 reduzierst.

Wertveränderung	Verschiebung in x-Richtung	Verschiebung in y-Richtung
$b$ um 1 erhöhen	$- \frac{1}{2 a}$ (links)	$\frac{2 b + 1}{4 a}$ (unten)
$b$ um 1 reduzieren	$\frac{1}{2 a}$ (rechts)	$\frac{2 b - 1}{4 a}$ (oben)

Parameter c: Verschiebung in $y$ -Richtung

Auch hier bewirkt der Parameter $c$ eine Verschiebung in $y$ -Richtung. Allerdings ist hier $c$ nicht identisch mit der $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts, (da ja schon $b$ in $y$ -Richtung verschoben hat).

Veranschaulichung durch Applet

Rechts unten kann man mit dem Schieberegler die Koeffizienten verändern, direkt darüber sieht man dann die Funktionsgleichung.

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