Mixed exercises: Quadratic functions

Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?

Der Graph der Funktion f mit $f (x) = x^{2} + t x + 1$ verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
Es werden zwei mögliche Lösungswege vorgestellt.
1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten
$x^{2} + t x + 1 = 0$
Diskriminante: $D = t^{2} - 4$ .
Als Bedingung dafür, dass keine Nullstelle existiert, ergibt sich nun $D = t^{2} - 4 < 0$ .
$t^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow t \in] - 2; 2 [$
Daher liegt $t$ im Intervall $] - 2; 2 [$ .
2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln
Gegeben ist die Funktion:
$f (x) = x^{2} + t x + 1; x \in R$
Der Graph der Funktion $f (x)$ soll oberhalb der $x$ - Achse verlaufen.
Daraus folgt für alle Werte $f (x) > 0$ .
Der Scheitelpunkt der Parabel muss also auch oberhalb der $x$ -Achse liegen.
$f (x)$ $=$ $x^{2} + t x + 1$
↓
Quadratische Ergänzung
$=$ $x^{2} + t x + (\frac{t}{2})^{2} - (\frac{t}{2})^{2} + 1$
↓
Binom bilden
$=$ $(x + \frac{t}{2})^{2} + 1 - (\frac{t}{2})^{2}$
↓
Scheitelpunktform bestimmen
$=$ $(x + \frac{t}{2})^{2} + 1 - \frac{t^{2}}{4}$
Der Scheitelpunkt ist also $S (- \frac{t}{2} | 1 - \frac{t^{2}}{4})$ .
Die $y$ -Koordinate des Scheitels muss oberhalb der $x$ -Achse liegen also $f (t) > 0$ . Daraus folgt die Ungleichung:
$1 - 4 t^{2} > 0 \Leftrightarrow t^{2} < 4$
Lösen der Ungleichung:
Wurzel ziehen und beachten, dass sowohl negative als auch
positive Werte auftreten können.
Ergebnis:
Der Paramter $t$ liegt im Intervall $] - 2; 2 [$ .
Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit $f (x) = - x^{2} - t x - 2$ liegt auf der x-Achse.

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
$f (x) = - x^{2} - t x - 2$
1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante
Da der Scheitel der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegen soll, hat die quadratische Gleichung $- x^{2} - t x - 2 = 0$ genau eine Lösung. Für die Diskriminante muss also $D = 0$ gelten.
$D = t^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1) = t^{2} - 8 = 0$
Also ist $t = \sqrt{8}$ oder $t = - \sqrt{8}$ .
2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
$f (x)$ $=$ $- x^{2} - t x - 2$
$=$ $- [x^{2} + t x + \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
$=$ $- [(x + \frac{t}{2})^{2} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
$=$ $(x + \frac{t}{2})^{2} + \frac{t^{2}}{4} - 2$
Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei $(- \frac{t}{2} | \frac{t^{2}}{4} - 2)$ .
Da der Scheitel auf der x-Achse liegen soll und dessen y-Koordinate damit $0$ ist, muss $\frac{t^{2}}{4} - 2 = 0$ gelten.
Also: $t^{2} = 8$ und damit $t = \sqrt{8}$ oder $t = - \sqrt{8}$ .
Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit $f (x) = - x^{2} - t x - 2$ liegt auf der y-Achse.

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
$f (x) = - x^{2} - t x - 2$
1.Lösungsweg: Achsensymmetrie
Da der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegen soll, muss $f (x) = f (- x)$ für alle $x \in ℝ$ gelten.
Damit gilt: $- (x)^{2} - t x - 2 = - (- x)^{2} - t (- x) - 2$
Also: $- t x = t x$ $\Rightarrow 2 t x = 0$ $\Rightarrow t = 0$ .
2.Lösungsweg: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
$f (x)$ $=$ $- x^{2} - t x - 2$
↓
Ergänze quadratisch
$=$ $- [x^{2} + t x + \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
↓
Binomische Formel
$=$ $- [(x + \frac{t}{2})^{2} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
↓
Klammern auflösen
$=$ $- (x + \frac{t}{2})^{2} + \frac{t^{2}}{4} - 2$
Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei $(- \frac{t}{2} | \frac{t^{2}}{4} - 2)$ .
Da der Scheitel auf der y-Achse liegen soll und dessen x-Koordinate dafür $0$ sein muss, muss $- \frac{t}{2} = 0$ gelten, also $t = 0$ .

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$f (x)$	$=$	$x^{2} + t x + 1$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$x^{2} + t x + (\frac{t}{2})^{2} - (\frac{t}{2})^{2} + 1$
	↓	Binom bilden
	$=$	$(x + \frac{t}{2})^{2} + 1 - (\frac{t}{2})^{2}$
	↓	Scheitelpunktform bestimmen
	$=$	$(x + \frac{t}{2})^{2} + 1 - \frac{t^{2}}{4}$

$f (x)$	$=$	$- x^{2} - t x - 2$
	$=$	$- [x^{2} + t x + \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
	$=$	$- [(x + \frac{t}{2})^{2} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
	$=$	$(x + \frac{t}{2})^{2} + \frac{t^{2}}{4} - 2$

$f (x)$	$=$	$- x^{2} - t x - 2$
	↓	Ergänze quadratisch
	$=$	$- [x^{2} + t x + \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
	↓	Binomische Formel
	$=$	$- [(x + \frac{t}{2})^{2} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$- (x + \frac{t}{2})^{2} + \frac{t^{2}}{4} - 2$

Mixed exercises: Quadratic functions

1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten

2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln

1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante

2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform

1.Lösungsweg: Achsensymmetrie

2.Lösungsweg: Scheitelform