Mixed exercises: Quadratic functions

Teilaufgabe a)

Den Scheitel der Prabel kannst du im Koordinatensystem ablesen. Er liegt bei $S(3|4)$.

Bestimme nun den Öffnungsfaktor a. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, hat a ein negatives Vorzeichen.

Allgemein hat eine Parabel in Scheitelpunktsform die Form:

$f(x)=a(x-x_s{)}^2+y_s$

Setze den Scheitel ein:

$f(x)=a(x-3{)}^2+4$

Der Punkt (1|0) liegt auf dem Graphen. Setze den Punkt ein, um $a$ zu bestimmen:

$0=a(1-3{)}^2+4$

$\Rightarrow a=-1$

Gib die vollständige Parabelgleichung an:

$f(x)=-(x-3{)}^2+4$

Teilaufgabe b)

Bestimme die Definitionsmenge der Funktion:

$f(x)=-(x-3{)}^2+4$

Es existiert keine Einschränkung der Defintionsmenge, also:

$D_f=ℝ$

Teilaufgabe c)

Bestimme den maximalen Wert in der Wertemenge der Funktion.

$f(x)=-(x-3{)}^2+4$

Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der höchste Punkt der Parabel die y-Koordinate des Scheitelpunktes .

$y_{\max }=4$

Teilaufgabe d)

Berechne die Nullstellen von $f(x)=-(x-3{)}^2+4$.

Bestimme die Nullstellen anhand der Zeichnung.

$x_1=1$ und $x_2=5$

Teilaufgabe e)

Gib die Wertemenge der Funktion an.

Aus Teilaufgabe c) weißt du bereits, dass $y_{max}=4$ ist.

Die Wertemenge der Funktion muss also kleiner als y=4 sein, da die Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitel den höchsten Punkt darstellt.

Die y-Werte werden für unendlich große Zahlen und unendlich kleine Zahlen unendlich klein. Somit ist der Wertebereich:

$W=]-\infty ;4]$

Teilaufgabe f)

Berechne die Nullstellen der Funktion.

$f(x)=-(x-3{)}^2+4$

Setze $x=1$ in die Funktionsgleichung ein:

$f_1(1)=-(1-3{)}^2+4=-2^2+4=-4+4=0$

$\Rightarrow x=1$ ist eine Nullstelle.

Setze $x=5$ in die Funktionsgleichung ein.

$f(5)=-(5-3{)}^2+4=-4+4=0$

$\Rightarrow x=5$ ist eine Nullstelle.