Mixed exercises: Quadratic functions

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=-x^2-3x\\ g\left(x\right)=\mathrm{0,5}x(x+3)\end{array}$

Damit die Graphen die x-Achse schneiden/berühren können, muss der y-Wert gleich 0 sein. $\to$ Nullstelle . Man sieht sofort, dass bei beiden Funktionen, wenn für x 0 eingesetzt wird, der y-Wert auch 0 wird. Daraus folgt, dass sich die Funktionen in diesem Punkt schneiden müssen.

$\to$ ${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}1}\left(0|0\right)$

Die zweite Nullstelle muss berechnet werden, man kann sie nicht einfach ablesen.

$\to$ ${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}2}(0|-3)$

$\to$ ${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}2}(0|-3)$

Die beiden Graphen haben zwei gleiche Nullstellen, schneiden sich also zweimal auf der x-Achse.

Scheitel bestimmen

$\to$ $\mathrm{S}(-\frac{3}{2}|-\frac{9}{8})$

Anmerkung: Auf die x-Koordinate des Scheitels hätte man auch sofort schließen können, da sich diese aufgrund der Symmetrie der Parabel als arithmetisches Mittel der Nullstellen ergibt.

Einsetzen von $\mathrm{x}=\mathrm{u}$ in  $f(x)$ :

$\mathrm{f}(\mathrm{u})=-{\mathrm{u}}^2-3\mathrm{u}$

Ablesen der Koordinaten

$\to \mathrm{P}(\mathrm{u}|-{\mathrm{u}}^2-3\mathrm{u})$

Einsetzen von $\mathrm{x}=\mathrm{u}$ in $g(x)$ :

$g(\mathrm{u})=\mathrm{0,5}\mathrm{u}(\mathrm{u}+3)$

$\to \mathrm{Q}\left(\mathrm{u}|\mathrm{0,5}\mathrm{u}(\mathrm{u}+3)\right)$

Es gilt: $\overline{PQ}=|y_P-y_Q|=|-u^2-3u-\mathrm{0,5}u(u+3)|=|-\mathrm{1,5}{u}^2-\mathrm{4,5}u|$

Wegen der Achsensymmetrie der beiden Parabeln zur Geraden $x=-\mathrm{1,5}$, gilt für die x-Koordinate der Punkte $R$ und $S$:

$x_R=x_S=-u-3$

Damit folgt: $\overline{PS}=|x_P-x_S|=|2u+3|$ und für $u=-1$ ergibt sich: ${\overline{PS}}_{u=-1}=|2\cdot (-1)+3|=1$

Da für $x\in ]-3;0[$ die Funktion $f(x)$ oberhalb von $g(x)$ verläuft, können die Betragsstriche auch weggelassen werden, also $\overline{PQ}=-\mathrm{1,5}{u}^2-\mathrm{4,5}u$.

Für $u=-1$ gilt somit für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks PQRS: $A_{u=-1}={\overline{PQ}}_{u=-1}\cdot {\overline{PS}}_{u=-1}=-\mathrm{1,5}+\mathrm{4,5}=3$

Der Umfang beträgt allgemein: $U=2(|2u+3|-\mathrm{1,5}{u}^2-\mathrm{4,5}u)$

Damit sich die Graphen der Funktion $f(x)$ und der verschobenen Funktion $g(x)+c$ an der Stelle $x$ berühren, muss zunächst $f(x)=g(x)+c$ gelten. Um sicherzustellen, dass ein Berührpunkt vorliegt, musst du zeigen, dass die Funktion $f(x)-(g(x)+c)$ bei $x$ eine doppelte Nullstelle besitzt.

$f(x)=g(x)+c$

$\iff -x^2-3x=\mathrm{0,5}x(x+3)+c$

$\iff -\mathrm{1,5}{x}^2-\mathrm{4,5}x-c=0$

Damit sich eine doppelte Nullstelle ergibt, muss für die Diskriminante $D=0$ gelten.

Die x-Koordinate des Berührpunkts ergibt sich dann als $\frac{-(-\mathrm{4,5})\pm \sqrt{D}}{2\cdot (-\mathrm{1,5})}=-\mathrm{1,5}$.

Da dies auch die x-Koordinate des Scheitels des Graphen von $f$ ist, gilt:$B=S=(-\mathrm{1,5}|\mathrm{2,25})$.

Für $f(a)-f(a+1)=4$ muss also $a=0$ gelten.