Math Functions Important types of functions and their properties Quadratic functions - parabolas Mixed exercises: Quadratic functions Mixed exercises: Quadratic functions

Mixed exercises: Quadratic functions

Zeige, dass es keinen Wert von $a$ gibt, sodass der Graph von $f (x) = a x^{2} + 1$ die Normalparabel berührt.

For this task you need the following basic knowledge: Berührpunkt von zwei Funktionen

Die Normalparabel ist der Graph der Funktion $g (x) = x^{2}$ . Um den Berührpunkt der Normalparabel und dem Graphen von $f (x) = a x^{2} + 1$ zu erhalten, setze die Funktionen gleich.

$f (x)$	$=$	$g (x)$
$a x^{2} + 1$	$=$	$x^{2}$	$- x^{2}$
$a x^{2} + 1 - x^{2}$	$=$	$0$
$(a - 1) x^{2} + 1$	$=$	$0$
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{0 \pm \sqrt{0^{2} - 4 \cdot (a - 1) \cdot 1}}{2 \cdot (a - 1)}$
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{\sqrt{- 4 a + 4}}{2 a - 2}$

Damit sich die Graphen von f und g berühren, muss die Gleichung eine doppelte Nullstelle besitzen, also $x_{1} = x_{2}$ gelten. Damit das stimmt, muss die Diskriminante $D = - 4 a + 4$ Null sein.

$D$	$=$	$0$
$- 4 a + 4$	$=$	$0$	$- 4$
$- 4 a$	$=$	$- 4$	$: (- 4)$
$a$	$=$	$1$

Der Parameter $a$ müsste also 1 sein, damit sich die beiden Graphen der Funktionen berühren. Der Berührpunkt läge an der Stelle $x_{1,2} = \frac{\sqrt{- 4 \cdot 𝟏 + 4}}{2 \cdot 𝟏 - 2} = \frac{0}{0}$ .

Da man jedoch nicht durch Null teilen darf, existiert kein Berührpunkt! Es gibt keinen Wert $a$ , sodass sich der Graph von f und der Normalparabel berühren.

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