Mixed exercises: Quadratic functions

Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Die Funktionen $f$ und $g$ sollen für $x=-1$ und $x=\mathrm{0,5}$, den gleichen Funktionswert besitzen. Bestimme diese gemeinsamen Punkte, in dem du $x=-1$ und $x=\mathrm{0,5}$ in $g(x)$ einsetzt.

$g(x)=2x-1$

$g(-1)=2\cdot (-1)-1=-3$

$\to$ ${\mathrm{P}}_1(-1|-3)$

$g(\mathrm{0,5})=2\cdot \mathrm{0,5}-1=0$

$\to {\mathrm{P}}_2\left(\mathrm{0,5}|0\right)$

Die Punkte $P_1$ und $P_2$ müssen nun auch auf dem Graphen von $f$ liegen.

Einsetzen der Punkte $P_1$ und $P_2$ in den Funktionsterm von $f$

$f(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+3$

Setze ${\mathrm{P}}_1(-1|-3)$ in $f(x)$ ein.

$a_1$ und $a_2$ müssen also diese Gleichung erfüllen, damit $f(-1)=-3$ ist und $P_1$ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Setze ${\mathrm{P}}_2\left(\mathrm{0,5}|0\right)$ in $f(x)$ ein.

$a_1\text{}$ und $a_2\text{}$ müssen also auch diese Gleichung erfüllen, damit $f(\mathrm{0,5})=0$ ist und  $P_2$​ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Gleichungssystem lösen

Nun hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten ($a_1$ und $a_2$) und kannst dieses lösen.

$\begin{array}{rrcl}I)& a_2-a_1+3& =& -3\\ II)& \mathrm{0,25}{a}_2+\mathrm{0,5}{a}_1+3& =& 0\end{array}$

Nimm die $II)$ Gleichung $\cdot 4$, um sie zu vereinfachen.

$\begin{array}{rrcl}I)& a_2-a_1+3& =& -3\\ I{I}^{\prime })& a_2+2a_1+12& =& 0\end{array}$

Wende nun das Additionsverfahren an.

$\begin{array}{rrcl}I)-I{I}^{\prime }):& (a_2-a_1+3)-(a_2+2a_1+12)& =& -3-0\\ & a_2-a_1+3-a_2-2a_1-12& =& -3\\ & -3a_1-9& =& -3& |+9\\ & -3a_1& =& 6& |:(-3)\\ & a_1& =& -2\end{array}$

Jetzt kannst du $a_1$ in Gleichung $I)$, $II)$ oder $I{I}^{\prime })$ einsetzen und nach $a_2$ auflösen. Das Ergebnis sollte immer das Gleiche sein.

Einsetzen in $I)$ liefert:

$\begin{array}{rrcl}I)& a_2-(-2)+3& =& -3\\ & a_2+2+3& =& -3\\ & a_2+5& =& -3& |-5\\ & a_2& =& -8\end{array}$

Du hast also jetzt $a_1$ und $a_2$ bestimmt. Setz die Werte noch in $f$ ein und du bist fertig.

$\Rightarrow$ $f(x)=-8{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+3$