Math Functions Important types of functions and their properties Quadratic functions - parabolas Mixed exercises: Quadratic functions Mixed exercises: Quadratic functions

Mixed exercises: Quadratic functions

Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln:

1.Bestimme die Scheitelform und den Scheitelpunkt.

2.Berechne die Achsenschnittpunkte.

3.Beschreibe schrittweise, wie f(x) aus der Normalparabel entsteht und wie sie geöffnet ist.

4.Zeichne den Graphen von f(x) in ein geeignetes Koordinatensystem.

$f (x) = x^{2} - 4 x + 2$

Parabeln

1.Scheitelpunkt berechnen

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 4 x + 2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$x^{2} - 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel .
	$=$	${(x - \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 2^{2} + 2$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 4 + 2$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 2$

$\to S (2 | - 2)$

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 4 x + 2$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$x^{2} - 4 x + 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	$16 - 4 \cdot 1 \cdot 2$
$D$	$=$	$16 - 8$
$D$	$=$	$8$

$\to$ 2 Lösungen

$x_{1} = \frac{4 + \sqrt{8}}{2} = 2 + \sqrt{2}$

$\to$ $P_{x 1} (2 + \sqrt{2} | 0)$

$x_{2} = \frac{4 - \sqrt{8}}{2} = 2 - \sqrt{2} \approx 0,586$

$\to$ $P_{x 2} (2 - \sqrt{2} | 0)$

Schnittpunkte mit der y-Achse

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 4 x + 2$
	↓	Für x gleich 0 setzen.
$f (0)$	$=$	$0 - 0 + 2$
$f (0)$	$=$	$2$

$\to$ $P_{y} (0 | 2)$

3.Verschiebung

Normalparabel: $f (x) = x^{2}$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f (x) = {(x - 2)}^{2} - 2$

$\to$ Verschiebung um 2 LE nach rechts.

$\to$ Verschiebung um 2 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6003_ThS3ww7qch.xml

$f (x) = x^{2} + 4 x + 2$

Parabeln

1.Scheitelpunkt berechnen

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	${(x + \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 2^{2} + 2$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 4 + 2$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 2$

$\to$ $S (- 2 | - 2)$

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Nullstelle berechnen .

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	$16 - 4 \cdot 1 \cdot 2$
$D$	$=$	$16 - 8$
$D$	$=$	$8$

$\to$ 2 Lösungen

$x_{1} = \frac{- 4 + \sqrt{8}}{2} = - 2 + \sqrt{2} \approx - 0,586$

$\to$ $P_{x 1} (- 2 + \sqrt{2} | 0)$

$x_{2} = \frac{- 4 - \sqrt{8}}{2} = - 2 - \sqrt{2} \approx - 3,414$

$P_{x 2} (- 2 - \sqrt{2} | 0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
	↓	Für x gleich 0 setzen.
$f (0)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
$f (0)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
$f (0)$	$=$	$0 + 0 + 2$
$f (0)$	$=$	$2$

$\to$ $P_{y} (0 | 2)$

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f (x) = x^{2}$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f (x) = {(x + 2)}^{2} - 2$

$\to$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\to$ Verschiebung um 2 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6007_6MLWielxmo.xml

$P_{y} (0 | 2)$

$f (x) = - x^{2} - 4 x + 3$

Parabeln

1.Scheitelpunkt berechnen

$f (x)$	$=$	$- x^{2} - 4 x + 3$
	↓	Minus ausklammern. $\to$ Distributivgesetz.
	$=$	$- (x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} - 3)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$- ({(x + \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} - 3)$
	$=$	$- ({(x + 2)}^{2} - 2^{2} - 3)$
	$=$	$- ({(x + 2)}^{2} - 4 - 3)$
	$=$	$- ({(x + 2)}^{2} - 7)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- {(x + 2)}^{2} + 7$

$\to$ $S (- 2 | 7)$

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$f (x)$	$=$	$- x^{2} - 4 x + 3$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$- x^{2} - 4 x + 3$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	$16 - 4 \cdot (- 1) \cdot 3$
$D$	$=$	$16 + 12$
$D$	$=$	$28$

$\to$ 2 Lösungen

$x_{1} = \frac{4 + \sqrt{28}}{2 \cdot (- 1)} = - 2 - \sqrt{7} \approx - 4,64$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

$\to$ $P_{x 1} (- 2 - \sqrt{7} | 0)$

$x_{2} = \frac{- 4 - \sqrt{28}}{2 \cdot (- 1)} = - 2 + \sqrt{7} \approx 0,65$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

$\to$ $P_{x 2} (- 2 + \sqrt{7} | 0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x)$	$=$
	↓	Für x gleich 0 setzen.
$f (0)$	$=$	$0 - 0 + 3$
$f (0)$	$=$	$3$

$\to$ $P_{y} (0 | 3)$

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f (x) = x^{2}$

Die verschiedenen Verschiebunge n lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f (x) = - {(x + 2)}^{2} + 7$

$\to$ Nach unten geöffnet.

$\to$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\to$ Verschiebung um 7LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6168_C6ZWhyHZpj.xml

$f (x) = - x^{2} + 8 x - 9$

Parabeln

1.Scheitelpunkt berechnen

$f (x)$	$=$	$- x^{2} + 8 x - 9$
	↓	Minus ausklammern. $\to$ Distributivgesetz.
	$=$	$- (x^{2} - 8 x + 9)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$- (x^{2} - 8 x + {(\frac{8}{2})}^{2} - {(\frac{8}{2})}^{2} + 9)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel .
	$=$	$- ({(x - \frac{8}{2})}^{2} - {(\frac{8}{2})}^{2} + 9)$
	$=$	$- ({(x - 4)}^{2} - 4^{2} + 9)$
	$=$	$- ({(x - 4)}^{2} - 16 + 9)$
	$=$	$- ({(x - 4)}^{2} - 7)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- {(x - 4)}^{2} + 7$

$\to$ $S (4 | 7)$

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$f (x)$	$=$	$- x^{2} + 8 x - 9$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$- x^{2} + 8 x - 9$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	$64 - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)$
$D$	$=$	$64 - 36$
$D$	$=$	$28$

$\to$ 2 Lösungen

$x_{1} = \frac{- 8 + \sqrt{28}}{2 \cdot (- 1)} = 4 - \sqrt{7} \approx 1,35$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

$\to$ $P_{x 1} (4 - \sqrt{7} | 0)$

$x_{2} = \frac{- 8 - \sqrt{28}}{2 \cdot (- 1)} = 4 + \sqrt{7} \approx 6,65$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

$\to$ $P_{x 2} (4 + \sqrt{7} | 0)$

Schnittpunkte mit der y-Achse

$f (x)$	$=$	$- x^{2} + 8 x - 9$
	↓	Für x gleich 0 setzen.
$f (0)$	$=$	$0 + 0 - 9$
$f (0)$	$=$	$- 9$

$\to$ $P_{y} (0 | - 9)$

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f (x) = x^{2}$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f (x) = - {(x - 4)}^{2} + 7$

$\to$ Nach unten geöffnet.

$\to$ Verschiebung um 4 LE nach rechts.

$\to$ Verschiebung um 7 LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6174_H2EV6KOQmh.xml

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 5$

Parabeln

1.Scheitelpunkt berechnen

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 5$
	↓	$\frac{1}{2}$ ausklammern. $\to$ Distributivgesetz .
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} - 8 x + 10)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} - 8 x + {(\frac{8}{2})}^{2} - {(\frac{8}{2})}^{2} + 10)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel .
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x - \frac{8}{2})}^{2} - {(\frac{8}{2})}^{2} + 10)$
	$=$	$= \frac{1}{2} ({(x - 4)}^{2} - 4^{2} + 10) =$
	$=$	$= \frac{1}{2} ({(x - 4)}^{2} - 16 + 10) =$
	$=$	$= \frac{1}{2} ({(x - 4)}^{2} - 6) =$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$= \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 6 \cdot \frac{1}{2} =$
	$=$	$= \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - \frac{6}{2} =$
	$=$	$= \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 3$

$\to$ $S (4 | - 3)$

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 5$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 5$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	$16 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5$
$D$	$=$	$16 - 10$
$D$	$=$	$6$

$\to$ 2 Lösungen

$x_{1} = \frac{4 + \sqrt{6}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4 + \sqrt{6} \approx 6,45$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

$\to$ $P_{x 1} (4 + \sqrt{6} | 0)$

$x_{2} = \frac{4 - \sqrt{6}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4 - \sqrt{6} \approx 1,55$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

$\to$ $P_{x 2} (4 - \sqrt{6} | 0)$

Schnittpunkte der y-Achse

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 5$
	↓	Für x gleich 0 setzen.
$f (0)$	$=$	$0 - 0 + 5$
$f (0)$	$=$	$5$

$\to$ $P_{y} (0 | 5)$

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f (x) = x^{2}$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 3$

$\to$ Gestaucht mit $\frac{1}{2}$ .

$\to$ Verschiebung um 4 LE nach rechts.

$\to$ Verschiebung um 3LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6196_kEw79OrGZY.xml

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 6$

Parabeln

1.Scheitelpunkt berechnen

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$
	↓	$\frac{1}{2}$ ausklammern. $\to$ Distributivgesetz.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - 2 x - 6)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$= \frac{1}{3} (x^{2} - 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 6) =$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$= \frac{1}{3} ({(x - \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 6) =$
	$=$	$= \frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 1^{2} - 6) =$
	$=$	$= \frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 1 - 6) =$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$= \frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 7) =$
	$=$	$= \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 7 \cdot \frac{1}{3} =$
	$=$	$= \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - \frac{7}{3}$

$\to$ $S (1 | - \frac{7}{3})$

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	${(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 2)$	${(- \frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$
$D$	$=$	$\frac{4}{9} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 2)$
$D$	$=$	$\frac{4}{9} + \frac{8}{3}$
	↓	Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
$D$	$=$	$\frac{4}{9} + \frac{24}{9}$
$D$	$=$	$\frac{28}{9}$

$\to$ 2 Lösungen

$x_{1} = \frac{\frac{2}{3} + \sqrt{\frac{28}{9}}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = 1 + \sqrt{7} \approx 3,65$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechenen.

$\to$ $P_{x 1} (1 + \sqrt{7} | 0)$

$x_{2} = \frac{\frac{2}{3} - \sqrt{\frac{28}{9}}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = 1 - \sqrt{7} \approx - 1,65$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

$\to$ $P_{x 2} (1 - \sqrt{7} | 0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$
	↓	Für x gleich 0 setzen.
$f (0)$	$=$	$0 - 0 - 2$
$f (0)$	$=$	$- 2$

$\to$ $P_{y} (0 | - 2)$

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f (x) = x^{2}$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$= \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - \frac{7}{3}$

$\to$ Gestaucht mit $\frac{1}{3}$ .

$\to$ Verschiebung um 1 LE nach rechts.

$\to$ Verschiebung um $\frac{7}{3}$ LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6202_qRo8RL1xPz.xml

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$

Parabeln

1.Scheitelpunkt berechnen

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$
	↓	$\frac{1}{2}$ ausklammern. $\to$ Distributivgesetz.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - 2 x - 6)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 6)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 6)$
	$=$	$= \frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 1^{2} - 6) =$
	$=$	$= \frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 1 - 6) =$
	$=$	$= \frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 7) =$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$= \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 7 \cdot \frac{1}{3} =$
	$=$	$= \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - \frac{7}{3}$

$\to$ $S (1 | - \frac{7}{3})$

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	${(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 2)$	${(- \frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$
$D$	$=$	$\frac{4}{9} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 2)$
	↓	Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
$D$	$=$	$\frac{4}{9} + \frac{8}{3}$
$D$	$=$	$\frac{4}{9} + \frac{24}{9}$
$D$	$=$	$\frac{28}{9}$

$\to$ 2 Lösungen

$x_{1} = \frac{\frac{2}{3} + \sqrt{\frac{28}{9}}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = 1 + \sqrt{7} \approx 3,65$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

$\to$ $P_{x 1} (1 + \sqrt{7} | 0)$

$x_{2} = \frac{\frac{2}{3} - \sqrt{\frac{28}{9}}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = 1 - \sqrt{7} \approx - 1,65$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

$\to$ $S c$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$
	↓	Für x gleich 0 setzen.
$f (0)$	$=$	$0 - 0 - 2$
$f (0)$	$=$	$- 2$

$\to$ $P_{y} (0 | - 2)$

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f (x) = x^{2}$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$= \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - \frac{7}{3}$

$\to$ Gestaucht mit $\frac{1}{3}$ .

$\to$ Verschiebung um 1 LE nach rechts.

$\to$ Verschiebung um $\frac{7}{3}$ LE nach unten.

4.Zeichnung

$f (x) = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{3}{4} x + 6$

Parabeln

1.Scheitelpunkt berechnen

$f (x)$	$=$	$- \frac{2}{3} x^{2} + \frac{3}{4} x + 6$
	↓	$- \frac{2}{3}$ ausklammern. $\to$ Distributivgesetz.
	$=$	$- \frac{2}{3} (x^{2} - \frac{9}{8} x - \frac{18}{2})$
	↓	Kürzen mit 2.
	$=$	$- \frac{2}{3} (x^{2} - \frac{9}{8} x - 9)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$- \frac{2}{3} ({(x - \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 9)$
	$=$	$- \frac{2}{3} ({(x - \frac{9}{16})}^{2} - {(\frac{9}{16})}^{2} - 9)$	${(\frac{9}{16})}^{2} = \frac{81}{256}$
	$=$	$- \frac{2}{3} ({(x - \frac{9}{16})}^{2} - \frac{81}{256} - 9)$
	↓	Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .
	$=$	$- \frac{2}{3} ({(x - \frac{9}{16})}^{2} - \frac{81}{256} - \frac{2304}{256})$
	$=$	$- \frac{2}{3} ({(x - \frac{9}{16})}^{2} - \frac{2385}{256})$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- \frac{2}{3} {(x - \frac{9}{16})}^{2} - \frac{2385}{256} \cdot (- \frac{2}{3})$
	↓	Kürzen der Faktoren mit 2.
	$=$	$\frac{- 2}{3} {(x - \frac{9}{16})}^{2} - \frac{2385}{128} \cdot (- \frac{1}{3})$
	↓	Kürzen der Faktoren mit 3.
	$=$	$- \frac{2}{3} {(x - \frac{9}{16})}^{2} - \frac{795}{128} \cdot (- \frac{1}{1})$
	$=$	$- \frac{2}{3} {(x - \frac{9}{16})}^{2} + \frac{795}{128}$

$\to$ $S (\frac{9}{16} | \frac{795}{128})$

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$f (x)$	$=$	$- \frac{2}{3} x^{2} + \frac{3}{4} x + 6$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$D$	$=$	${(\frac{3}{4})}^{2} - 4 \cdot (- \frac{2}{3}) \cdot 6$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	${(\frac{3}{4})}^{2} - 4 \cdot (- \frac{12}{3})$
$D$	$=$	${(\frac{3}{4})}^{2} - 4 \cdot (- 4)$
$D$	$=$	${(\frac{3}{4})}^{2} + 16$	${(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$
$D$	$=$	$\frac{9}{16} + 16$
	↓	Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .
$D$	$=$	$\frac{9}{16} + \frac{256}{16}$
$D$	$=$	$\frac{265}{16}$

$\to$ 2 Lösungen

$x_{1} = \frac{- \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{265}{16}}}{2 \cdot (- \frac{2}{3})} \approx - 2,49$

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

$\to$ $P_{x 1} (- 2,49 | 0)$

$x_{1} = \frac{- \frac{3}{4} - \sqrt{\frac{265}{16}}}{2 \cdot (- \frac{2}{3})} \approx 3,61$

$\to$ $P_{x 2} (3,61 | 0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f (x)$	$=$	$- \frac{2}{3} x^{2} + \frac{3}{4} x + 6$
	↓	x gleich 0 setzen.
$f (0)$	$=$	$0 + 0 + 6$
$f (0)$	$=$	$6$

$\to$ $P_{y} (0 | 6)$

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f (x) = x^{2}$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$= - \frac{2}{3} {(x - \frac{9}{16})}^{2} + \frac{795}{128}$

$\to$ Nach unten geöffnet.

$\to$ Gestaucht mit $\frac{2}{3}$ .

$\to$ Verschiebung um $\frac{9}{16}$ LE nach rechts.

$\to$ Verschiebung um $\frac{795}{128}$ LE nach oben.

4.Zeichnung

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