Math Functions Important types of functions and their properties Quadratic functions - parabolas Mixed exercises: Quadratic functions Mixed exercises: Quadratic functions

Mixed exercises: Quadratic functions

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$ .

1.Berechne den Scheitelpunkt mit Hilfe der Scheitelform.

2.Berechne die Achsenschnittpunkte.

3.Die Parabel soll so verschoben werden, dass der Punkt der Parabel, der auf der y-Achse liegt durch den Punkt P (-3| -1) verläuft. Wie lautet die Funktionsgleichung g(x) der verschobenen Parabel?

4.Wo schneiden sich beide Parabeln?

5.Zeichne beide Parabeln in ein geeignetes Koordinatensystem.

Parabeln

1.Scheitelpunkt berechnen

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$
	↓	Distributivgesetz anwenden. $- \frac{1}{2}$ ausklammern.
	$=$	$- \frac{1}{2} (x^{2} - 4 x - 2)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} - 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} - 2)$
	↓	Schreibe in eine Binomische Formel um.
	$=$	$- \frac{1}{2} ({(x - \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} - 2)$
	$=$	$- \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{2} - 2^{2} - 2)$
	$=$	$- \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{2} - 4 - 2)$
	$=$	$- \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{2} - 6)$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$- \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 6 \cdot (- \frac{1}{2})$
	$=$	$- \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 3$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\to$ Scheitelpunkt: $S (2 | 3)$

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen: Nullstelle berechnen

Artikel zum Thema

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an. Dazu erst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	$2^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot 1$
$D$	$=$	$4 - 4 \cdot (- \frac{1}{2})$
$D$	$=$	$4 + 2$
$D$	$=$	$6$
	↓	$\to$ 2 Lösungen. Wende die Mitternachtsformel an.

$x_{1} = \frac{- 2 + \sqrt{D}}{2 \cdot (- 0,5)} = 2 - \sqrt{6}$

$\to P_{x_{1}} (2 - \sqrt{6} | 0)$

$x_{2} = \frac{- 2 - \sqrt{D}}{2 \cdot (- 0,5)} = 2 + \sqrt{6}$

$\to P_{x_{1}} (2 + \sqrt{6} | 0)$

Schnittpunkte mit der y-Achse

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$
	↓	Setze x gleich 0.
$f (0)$	$=$	$- \frac{1}{2} 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1$
$f (0)$	$=$	$1$

$\to P_{y} (0 | 1)$

3.Verschieben der Parabel

$P ‘ (- 3 | - 1)$ ; $P_{y} (0 | 1)$

0 $\to$ 3

Verschiebung um 3 Einheiten -1 $\to$ 1

Verschiebung um 2 Einheiten nach unten.

Um eine Parabel zu verschieben, muss die Scheitelform nach vorherig gemachten Angaben verändert werden.

$f (x) = - \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 3$ $\to$

$f (x) = - \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 3$

Multipliziere die Funktion aus. Binomische Formel. $l$

$= - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 x + 1) + 1 =$

$= - \frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{1}{2} + 1 =$

$= - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}$

4.Schnittpunkte berechnen

Ansatz: $f (x) = g (x)$

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$ ;

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1 = - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}$

Nach x auflösen.

$\Leftrightarrow 2 x + 1 = - x + \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 3 x = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x = - \frac{1}{6}$

Setze den gefundenen x-Wert in eine der Anfangsgleichungen, um den zugehörigen y-Wert zu berechnen.

$f (- \frac{1}{6})$	$=$	$- \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{1}{6})}^{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$
	$=$	$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$
	$=$	$- \frac{1}{72} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$
	↓	Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . $\to$ 6
	$=$	$- \frac{1}{72} + \frac{1}{6} + \frac{3}{6}$
	$=$	$- \frac{1}{72} + \frac{4}{6}$
	↓	Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . $\to$ 72
	$=$	$- \frac{1}{72} + \frac{48}{72}$
	$=$	$\frac{47}{72}$

$\to S (- \frac{1}{6} | \frac{47}{72})$

5.Zeichnung

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