Exercises: Polynomial functions

Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion kann mit ein paar Regeln vorhergesagt werden.

$f$ ist eine eine quadratische Funktion, da der größte Exponent $2$ ist. Wir wissen, dass das Verhalten im Unendlichen vom Grad des Polynoms, sowie vom Vorzeichen des ersten Koeffizienten (nach Sortierung der Terme nach fallenden Exponenten) abhängt.

Für sehr kleine Werte von $x$ (damit sind negative $x$-Werte mit sehr großem Betrag gemeint), sowie sehr große Werte von $x$ dominiert also der Term $-9x^2$. Dieser ist negativ für jedes $x$. Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $f$:

Also ungefähr so:

Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion hängt vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten ab.

$f(x)=2x^2+3x^6+1$

Sortiere den Term nach fallenden Exponenten.

$f(x)=3x^6+2x^2+1$

Lese den Grad der Funktion und das Vorzeichen des ersten Koeffizienten ab.

Die Funktion hat den Grad 6 und das Vorzeichen des ersten Koeffizienten (nach der Sortierung) ist positiv.

Für sehr kleine Werte von $x$ (damit sind negative $x$-Werte mit sehr großem Betrag gemeint), sowie sehr große Werte von $x$ dominiert also der Term $3x^6$. Dieser ist positiv für jedes $x$. Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $f$von links oben nach rechts oben.

Da die Polynomfuktion nur Potenzen mit geradem Exponenten enthält, ist die Funktion symmetrisch zur Y-Achse.

Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion hängt vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten ab.

$f(x)=(x-3)(x+4)(2-x)$

Der Grad der Funktion f(x) ergibt sich aus der Summe der Grade der einzelnen Faktoren.

f ist das Produkt von drei Linearfaktoren. Alle drei Faktoren haben den Grad 1.

Grad $f(x)=1+1+1=3$

Somit ist f ein Polynom dritten Grades.

In den Faktoren taucht die Variable x zweimal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen auf. Das Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten $x^3$ ist also negativ.

$-x^3$ ist positiv, wenn $\text{}x$ negativ ist und negativ, wenn $x$ positiv ist.Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $\text{}f$ von links oben nach rechts unten.

Da die Polynomfuktion sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält, ist die Funktion weder symmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch.

Erste Variante:

$\begin{array}{rcl}g(x)& =& (x-1)(x+3{)}^2(x+1)\end{array}$

Zuerst wird $(x+3{)}^2$ ausmultipliziert.

$\begin{array}{rclll}& & & =& (x-1)(x^2+6x+9)(x+1)\end{array}$

Jetzt kannst Du die linke und die mittlere Klammer ausmultiplizieren.

$\begin{array}{rclll}& & & =& (x^3+5x^2+3x-9)(x+1)\end{array}$

Als letztes wird die rechte Klammer multipliziert.

$\begin{array}{rclll}& & & =& x^4+6x^3+8x^2-6x-9\end{array}$

Jetzt hat $g$ eine schöne Gestalt, an der der charakteristische Verlauf abgelesen werden kann. Der Grad der Funktion $g$ ist $4$. Der Term $x^4$ dominiert also für große Werte von $x$. Da der Koeffizient vor dem $x^4$ gleich $+1$ ist und $x^4$ selbst positiv ist für alle $x$, hat $g$ den charakteristischen Verlauf "Von links oben nach rechts oben".

Zweite Variante (etwas fortgeschrittener):

Zuerst ermittelst Du den Grad dieser Funktion ohne ausmultiplizieren der Terme. Da $g$ das Produkt von vier Linearfaktoren ist ( der Faktor $(x+3)$ hat den Exponenten $2$ ) ist $g$ ein Polynom vierten Grades. In allen Faktoren taucht die Variable $x$ mit positivem Vorzeichen auf. Diese zwei Informationen genügen um den charakteristischen Verlauf von $g$ angeben zu können. Dieser ist nämlich "Von links oben, nach rechts oben".

Bei der Funktion $h$ muss man etwas vorsichtiger sein. Es scheint so als wäre $h$ in Linearfaktoren zerlegt, doch wenn man genauer hinschaut fällt auf, dass die mittlere Klammer $(1-x^2{)}^2$ kein Linearfaktor ist. Dort taucht ein x^\color{red}{2} ParseError: Got function '\color' with no arguments as superscript at position 3: x^\̲c̲o̲l̲o̲r̲{red}{2} auf!

Das ist nicht schlimm. Weil wir aber diese Klammer nicht ausmultiplizieren wollen ( "Mathematiker sind faul" ), musst Du dir ein paar Überlegungen für dieses Polynom machen.

Was solltest Du über $(1-x^2{)}^2$ zu wissen?

Man braucht ja schließlich den größten Exponenten, der nach ausmultiplizieren der Klammer bleibt. Dieser berechnet sich als das Produkt vom größten Exponenten in der Klamer mit dem Exponenten der Klammer. In unserem Fall wird also $4=2\text{·}2$, der größte Exponent in $(1-x^2{)}^2$ sein.

Stellen wir uns das Ausmultiplizieren der Klammer im Kopf vor, so stellen wir fest: Nur indem wir $-x^2$ mit sich selbst multiplizieren, erreichen wir die Potenz $x^4$.

Somit ist der Koeffizient vor dieser Potenz gleich $1=(-1{)}^2$.

Jetzt können wir endlich weiterrechnen :)

Weiter geht's mit $h$

Da $h$ das Produkt von drei Funktionen ist, erhalten wir den Grad von $h$ indem wir die Grade dieser Funktionen aufsummieren. Der Grad von $h$ ist also $6=1+4+1$. Der Koeffizient vor der größten Potenz in $h$ ist das Produkt der Koeffizienten vor den größten Potenzen in den einzelnen Faktoren. Wir berechnen also $3\text{·}1\text{·}1=3$.

Die Funktion $h$ sieht also so aus: $h(x)=3x^6+\dots$ wobei " … " dafür steht, dass wir Terme mit niedrigeren Exponenten einfach ignorieren.

Da $h$ einen geraden Grad hat und ihr erster Koeffizient positiv ist, ist ihr charakteristische Verlauf "Von links oben nach rechts oben".

Also ungefähr so:

Wir wissen, dass der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten abhängt.

Der Grad der Funktion f(x) ergibt sich aus der Summe der Grade der einzelnen Faktoren.

$f(x)=(x+1)(2-x)(1+x^2)$

f ist das Produkt von drei Linearfaktoren. Die ersten beiden Faktoren haben den Grad 1, der dritte Faktor hat den Grad 2.

Grad $f(x)=1+1+2=4$

Somit ist f ein Polynom vierten Grades.

In den Faktoren taucht die Variable x zweimal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen auf. Das Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten $x^4$ ist also negativ.

$-x^4$ ist negativ, wenn $\text{}x$ negativ ist und negativ, wenn $\text{}x$ positiv ist.Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $\text{}f$ von links unten nach rechts unten.

Da die Polynomfuktion sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält, ist die Funktion weder symmetrisch zur Y-Achse noch punktsymmetrisch.

Tipp: Lass dich vom $k$ nicht abschrecken ;) Setze doch mal einen Wert für $k$ ein ( z. B. $k=1$ ) und schaue wie der charakteristische Verlauf in diesem Fall wäre. Bleibt der Verlauf dann gleich, wenn man andere Werte für $k$ wählt? Lassen sich Aussagen für allgemeinere Werte von $k$ sagen?

Die Funktion $i$ erfordert zusätzliche Überlegungen als die anderen, denn $k$ ist kein fester Wert. Es liegt an uns zu untersuchen, was für verschiedene Werte von $k$ mit der Funktion $i$ passiert.

Doch bevor wir loslegen, schauen wir uns $i$ nochmal genauer an. Der Grad von $i$ ist gleich $k+1$, denn $k+1$ ist immer größer als $k$. Das erspart uns schon mal einiges an Arbeit. Wir wissen ja, dass nur der Teil mit der größten Potenz für den charakteristischen Verlauf von Bedeutung ist.

Wie ist dann der charakteristische Verlauf vom Term $-(x-1{)}^{k+1}$? Hier müssen wir wirklich unterscheiden, was für verschiedene Werte von $k$ passiert.

Wenn $k$ ungerade ist, dann ist $k+1$ gerade. Der Koeffizient vor dieser Klammer ist gleich $-1$. Somit hat $i$ für $k$ ungerade den charakteristischen Verlauf "von links unten nach rechts unten".

Also ungefähr so:

Wenn $k$ gerade ist, dann ist $k+1$ ungerade. Der Koeffizient vor der Klammer ist weiterhin gleich $-1$. Somit ist der charakteristische Verlauf von $i$ "von links oben nach rechts unten".

Also ungefähr so: