Exercises: Polynomial functions

Bestimme bei folgenden Funktionen den Definitionsbereich, die Nullstellen, das Symmetrieverhalten, die Grenzwerte und die Wertemenge.

$f (x) = - x^{4} - 2 x^{2} + 3$

For this task you need the following basic knowledge: Kurvendiskussion

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$ -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{f} = ℝ$ .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$f (x)$	$=$	$- x^{4} - 2 x^{2} + 3$
	↓	In $f (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $f (u)$ erhält.
$f (u)$	$=$	$- u^{2} - 2 u + 3$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\frac{2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$
	$=$	$\frac{2 \pm 4}{- 2}$
$u_{1}$	$=$	$- 3$	$F a l l 1 : +$
$u_{2}$	$=$	$1$	$F a l l 2 : -$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{1,2}^{2} = u_{1} = - 3$

Radizieren.

Für $\sqrt{- 3}$ gibt es keine reelle Lösung.

$x_{3,4}^{2} = u_{2} = 1$

Wurzel ziehen.

$x_{3,4} = \pm 1$

Da es für $x_{1,2}$ keine reelle Lösung gibt, sind $x_{3,4}$ die einzigen Nullstellen von $f (x)$ .

Die Funktion $f (x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_{3} = - 1$ , $x_{4} = 1$ .

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.

$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.

Durch Berechnung

$f (x)$	$=$	$- x^{4} - 2 x^{2} + 3$
	↓	Prüfen ob $f (x) = f (- x)$ . Setze dafür $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x)$	$=$	$- {(- x)}^{4} - 2 {(- x)}^{2} + 3$
	↓	Umformen.
$f (x)$	$=$	$- x^{4} - 2 x^{2} + 3$

$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

$D_{f} = ℝ$

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm \infty$ betrachtet werden.

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

gegen $+ \infty$

$\lim_{x \to \infty} \overset{\overset{\to - \infty}{︷}}{-} - \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{2} + 3 = - \infty$

gegen $- \infty$

$\lim_{x \to - \infty} \overset{\overset{\to - \infty}{︷}}{-} - \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{2} + 3 = - \infty$

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach unten geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den höchsten Punkt des Graphen. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, liegt die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts zwischen den Nullstellen, also bei $x = 0$ .

Der Scheitelpunkt liegt also bei $S (0 | f (0))$ .

Berechne $f (0)$ .

$f (0) = - 0^{4} - 2 \cdot 0^{2} + 3 = 3$

Gib die Wertemenge an.

$𝕎_{𝕗} =] - \infty; 3]$

$g (x) = x^{2} + 2 x + 1$

For this task you need the following basic knowledge: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$ -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{g} = ℝ$ .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$g (x)$ $=$ $x^{2} + 2 x + 1$
↓
Setze $g (x) = 0$ .
$x^{2} + 2 x + 1$ $=$ $0$
↓
1. Binomische Formel anwenden.
${(x + 1)}^{2}$ $=$ $0$
$x_{1,2}$ $=$ $- 1$
Die Funktion $g (x)$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2} = - 1$ .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $g$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.
Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $g$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Somit besitzt $g$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse oder des Ursprungs.
Durch Berechnung
$g (x) = x^{2} + 2 x + 1$
Prüfen ob $g (x) = g (- x)$ . Setze dafür $- x$ in $g (x)$ ein.
$g (- x) = (- x)^{2} + 2 \cdot (- x) + 1$
$= x^{2} - 2 x + 1 \neq g (x)$
$\Rightarrow$ keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
Prüfen ob $g (x) = - g (- x)$ .
$- g (- x) = - (x^{2} - 2 x + 1) = - x^{2} + 2 x - 1 \neq g (x)$
$\Rightarrow$ keine Punktymmetrie zum Ursprung
Somit liegt bei $g$ keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse oder des Ursprungs vor.
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
$D_{g} = ℝ$
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm \infty$ betrachtet werden.
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
gegen $+ \infty$
$\lim_{x \to \infty} \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{x^{2}} + \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{2} + 1 = \infty$
gegen $- \infty$
$\lim_{x \to - \infty} \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{x^{2}} + \overset{\overset{\to - \infty}{︷}}{2} + 1 = \infty$
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den tiefsten Punkt des Graphen. Da die Funktion eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2} = - 1$ besitzt, ist die Nullstelle zugleich der Scheitelpunkt.
Der Scheitelpunkt liegt also bei $S (- 1 | 0)$ .
Gib die Wertemenge an.
$𝕎_{𝕗} = [0; \infty [$
$h (x) = - x^{3} + 4 x$

For this task you need the following basic knowledge: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$ -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{h} = ℝ$ .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Ausklammern
Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.
$h (x)$ $=$ $- x^{3} + 4 x$
↓
Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$h (x)$ $=$ $x \cdot (- x^{2} + 4)$
↓
Setze $h (x) = 0$ .
$0$ $=$ $x (- x^{2} + 4)$
↓
Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!
$\Rightarrow x_{1} = 0$
Setze die Klammer gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcl} - x^{2} + 4 & = & 0 & | + x^{2} \\ 4 & = & x^{2} & | \sqrt{} \\ \pm 2 & = & x_{2,3} \end{array}$
Die Funktion $h (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 2$ und $x_{3} = 2$ .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Alle Exponenten von $x$ sind ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$h (x) = - x^{3} + 4 x$
Prüfen ob $h (x) = h (- x)$ . Setze dafür $- x$ in $h (x)$ ein.
$h (- x) = - (- x)^{3} + 4 \cdot (- x)$
$= x^{3} - 4 x \neq h (x)$
$\Rightarrow$ keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
Prüfen ob $h (x) = - h (- x)$ .
$- h (- x)$ $=$ $- (x^{3} - 4 x)$
$h (x)$ $=$ $- x^{3} + 4 x$
$\Rightarrow$ Punktymmetrie bezügöich des Ursprungs
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
$D_{h} = ℝ$
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm \infty$ betrachtet werden.
gegen $+ \infty$
$\lim_{x \to \infty} \overset{\overset{\to - \infty}{︷}}{-} + \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{4} = - \infty$
gegen $- \infty$
$\lim_{x \to - \infty} \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{-} + \overset{\overset{\to - \infty}{︷}}{4} = \infty$
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:
$𝕎_{𝕗} = ℝ$
$i (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$

For this task you need the following basic knowledge: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$ -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{i} = ℝ$ .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$i (x)$ $=$ $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$
↓
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $- 2$ in $i (x)$ ein.
$i (- 2)$ $=$ ${(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) + 18$
$0$ $=$ $- 8 - 16 + 6 + 18$
Die Funktion $i (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 2$ eine Nullstelle. Da $i (- 2) = 0$ , wissen wir, dass $i (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 2)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $i (x) : (x + 2)$ durch.
$\begin{array}{l} - (x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18) : (x + 2) = x^{2} - 6 x + 9 \\ - (x^{3} + 2 x^{2}) \\ - 6 x^{2} - 3 x \\ - (- 6 x^{2} - 12 x) \\ 9 x + 18 \\ - (9 x + 18) \\ 0 \end{array}$
Die Funktion $g (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 2$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $i$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.
$x^{2} - 6 x + 9$ $=$ $0$
↓
2. Binomische Formel anwenden.
${(x - 3)}^{2}$ $=$ $0$
$x_{2,3}$ $=$ $3$
Die Funktion $i (x)$ hat eine einfache Nullstelle bei $x_{1} = - 2$ und eine doppelte Nullstelle bei $x_{2,3} = 3$ .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $i$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.
Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $i$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Somit besitzt $i$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse oder des Ursprungs.
Durch Berechnung
$i (x)$ $=$ $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$
↓
Prüfen ob $i (x) = i (- x)$ . Setze dafür $- x$ in $i (x)$ ein.
$i (- x)$ $=$ ${(- x)}^{3} - 4 \cdot {(- x)}^{2} - 3 \cdot (- x) + 18$
$= - x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 18 \neq i (x)$
$\Rightarrow$ keine Achsensymmetrie zur $ y$ -Achse
Prüfen ob $i (x) = - i (- x)$ .
$- i (- x) = - (- x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 18)$
$= x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 \neq i (x)$
$\Rightarrow$ keine Punktymmetrie zum Ursprung
Somit liegt bei $i$ keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse oder des Ursprungs vor.
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
$D_{i} = ℝ$
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm \infty$ betrachtet werden.
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
gegen $+ \infty$
$\lim_{x \to \infty} \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{x^{3}} - \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{4} - \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{3} + 18 = \infty$
gegen $- \infty$
$\lim_{x \to - \infty} \overset{\overset{\to - \infty}{︷}}{x^{3}} - \overset{\overset{\to \infty}{︷}}{4} - \overset{\overset{\to - \infty}{︷}}{3} + 18 = - \infty$
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:
$𝕎_{𝕗} = ℝ$

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$g (x)$	$=$	$x^{2} + 2 x + 1$
	↓	Setze $g (x) = 0$ .
$x^{2} + 2 x + 1$	$=$	$0$
	↓	1. Binomische Formel anwenden.
${(x + 1)}^{2}$	$=$	$0$
$x_{1,2}$	$=$	$- 1$

$h (x)$	$=$	$- x^{3} + 4 x$
	↓	Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$h (x)$	$=$	$x \cdot (- x^{2} + 4)$
	↓	Setze $h (x) = 0$ .
$0$	$=$	$x (- x^{2} + 4)$
	↓	Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

$i (x)$	$=$	$x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$
	↓	Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $- 2$ in $i (x)$ ein.
$i (- 2)$	$=$	${(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) + 18$
$0$	$=$	$- 8 - 16 + 6 + 18$

$x^{2} - 6 x + 9$	$=$	$0$
	↓	2. Binomische Formel anwenden.
${(x - 3)}^{2}$	$=$	$0$
$x_{2,3}$	$=$	$3$

$i (x)$	$=$	$x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$
	↓	Prüfen ob $i (x) = i (- x)$ . Setze dafür $- x$ in $i (x)$ ein.
$i (- x)$	$=$	${(- x)}^{3} - 4 \cdot {(- x)}^{2} - 3 \cdot (- x) + 18$

Exercises: Polynomial functions

Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Substitution

Resubstitution

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞

gegen −∞

Wertemenge bestimmen

Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞

gegen −∞

Wertemenge bestimmen

Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ausklammern

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞

gegen −∞

Wertemenge bestimmen

Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞

gegen −∞

Wertemenge bestimmen

gegen $+ \infty$

gegen $- \infty$

gegen $+ \infty$

gegen $- \infty$

gegen $+ \infty$

gegen $- \infty$

gegen $+ \infty$

gegen $- \infty$