Exercises: Polynomial functions

Bestimme alle Hoch-, Tief- bzw. Terrassenpunkte des Graphen von

$f (x) = \frac{1}{12} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2})$ .

For this task you need the following basic knowledge: Extrema

Zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte des Graphen einer Funktion $f$ benötigst du die Ableitungen von $f$ .

Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion $f$ an einer Stelle $x$ gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.

Erste Ableitung

$f (x) = \frac{1}{12} (3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2})$

Leite $f$ mithilfe der Ableitungsregeln a.

$f^{'} (x) = \frac{1}{12} (12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x)$

$= x^{3} + x^{2} - 2 x$

Zweite Ableitung

$f^{'} (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x$

Nutze die erste Ableitung von $f (x)$ als Ausgangspunkt, um die zweite Ableitung von $f$ zu bestimmen.

$f^{''} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2$

Extrema bestimmmen

Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Setze also $f^{'} (x)$ gleich 0.

$0$	$=$	$x^{3} + x^{2} - 2 x$
$0$	$=$	$x \cdot (x^{2} + x - 2 x)$
	↓	Die erste Nullstelle kann nun abgelesen werden, da $x$ als alleinstehender Faktor ausgeklammert werden konnte.

$\Rightarrow x_{1} = 0$

Löse nun die Gleichung $x^{2} + x - 2 x = 0$ .

$x^{2} + x - 2$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 1 \pm 3}{2}$

$x_{2} = 1$

$x_{3} = - 2$

1. Extremum

$f (x) = \frac{1}{12} (3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2})$

$x$ -Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

$f (0) = \frac{1}{12} (3 \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2})$

$= \frac{1}{12} (0 + 0 - 0) = 0$

Untersuche, ob der erste Extrempunkt Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.

$ x$ -Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in $ f ′ ′ (x$ ) einsetzen.

$f^{''} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2$

$f^{''} (0) = 3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 2 = - 2$

Da $f^{''} (0) < 0$ hat $f (x)$ an der Stelle $(0 | 0)$ einen Hochpunkt .

$\Rightarrow H (0 | 0)$

2. Extremum

$f (x) = \frac{1}{12} (3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2})$

Setze den $x$ -Wert der zweiten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.

$f (1) = \frac{1}{12} (3 \cdot 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} - 12 \cdot 1^{2})$

$= \frac{1}{12} (3 + 4 - 12) = \frac{1}{12} \cdot (- 5) = - \frac{5}{12}$

Untersuche, ob der zweite Extrempunkt ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.

Setze den $x$ -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in $f^{''} (x)$ ein.

$f^{''} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2$

$f^{''} (1) = 3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 2 = 3$

Da $f^{''} (1) > 0$ hat $f (x)$ an der Stelle $(1 | - \frac{5}{12})$ einen Tiefpunkt.

$\Rightarrow T_{1} (1 | - \frac{5}{12})$

3. Extremum

$f (x) = \frac{1}{12} (3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2})$

Setze den $x$ -Wert der dritten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.

$f (- 2) = \frac{1}{12} (3 \cdot (- 2)^{4} + 4 \cdot (- 2)^{3} - 12 \cdot (- 2)^{2})$

$= \frac{1}{12} (48 - 32 - 48) = \frac{1}{12} \cdot (- 32)$

$= - \frac{32}{12} = - \frac{8}{3}$

Untersuche, ob der dritte Extrempunkt ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.

$f^{''} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2$

$x$ -Wert des dritten gefundenen Extrempunkts in $f ′ ′ (x)$ einsetzen.

$f^{''} (- 2) = 3 \cdot (- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2) - 2 = 6$

Da $f^{''} (- 2) > 0$ hat $f (x)$ an der Stelle $(- 2 | - \frac{8}{3})$ einen Tiefpunkt .

$\Rightarrow T_{2} (- 2 | - \frac{8}{3})$

Der Graph von $f$ hat einen Tiefpunkt bei $T_{2} (- 2 | - \frac{8}{3})$ , einen Hochpukt bei $H (0 | 0)$ und einen Tiefpunkt bei $T_{1} (1 | - \frac{5}{12})$ .

This content is licensed under
CC BY-SA 4.0 → What does that mean? serlo.org