Math Functions Important types of functions and their properties Quadratic functions - parabolas Zeros of a quadratic function Exercises: Zero form

Exercises: Zero form

Gegeben ist der nebenstehende Graph der Funktion $f$ . Bestimme die Funktionsgleichung in Nullstellenform.

Graph einer Parabel mit zwei einfachen Nullstellen

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenform

Bestimmung der Nullstellenform

Verwende das Vorgehen aus dem Artikel Nullstellenform zur Bestimmung der Nullstellenform:

Zuerst musst du die Nullstellen des Graphen bestimmen.

Du siehst vielleicht, dass eine Nullstelle bei $x_{1} = - 1$ existiert und eine weitere bei $x = - 3$ . Die Vielfachheit ist jeweils $1$ . Falls du hier Probleme hast, schau nochmal in den Artikel zu Nullstellen.

Die Funktion hat also zwei unterschiedliche Nullstellen der Vielfachheit $1$ . Dies entspricht dem 1. Fall des Vorgehens aus dem Artikel über die Nullstellenform.

Die Funktionsgleichung ist also von der Form:

f (x) = a \cdot (x - (- 1)) \cdot (x - (- 3)) = a \cdot (x + 1) \cdot (x + 3)

mit dem Öffnungsfaktor $a$ .

Als Nächstes ist $a$ zu bestimmen. Dafür gibt es zwei verschiedene Varianten:

1. Variante

Der Öffnungsfaktor kann ausgehend vom Scheitelpunkt $S (- 2 | - 1)$ und dem Punkt $P (- 1 | 0)$ abgelesen werden.

Du erhältst $a = 1$ .

Die Nullstellenform der Funktion $f$ lautet also:

$f (x) = 1 \cdot (x + 1) \cdot (x + 3)$ .

Bestimmung des Öffnungsfaktors am Graphen von f

2. Variante

Die Nullstellenform ist, abgesehen von $a$ , bereits gefunden. Sie lautet:

f (x) = a \cdot (x + 1) \cdot (x + 3)

Setzt du jetzt einen Punkt ein, der auf dem Graphen liegt, aber keine Nullstelle ist, so kannst du die Gleichung nach $a$ auflösen.

Du kannst am Graphen sehen, dass der Punkt $P (0 | 3)$ auf diesem liegt und keine Nullstelle ist. Setze also $P (0 | 3)$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $a$ auf.

3 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 + 3) = a \cdot 1 \cdot 3 = a \cdot 3

Teilst du beide Seiten der Gleichung durch $3$ , erhältst du $a = 1$ .

Damit ist die Nullstellenform gegeben durch:

f (x) = 1 \cdot (x + 1) \cdot (x + 3)

Erinnere dich an das im Artikel Nullstellenform beschriebene Schema zur Bestimmung der Nullstellenform.

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