Exercises: Determining zeros of quadratic functions

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen:

$x^{2} + 3 x + 4$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellen
$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$
Erster Schritt ist, da wir hier eine quadratische Funktion vorliegen haben, Mitternachtsformel anwenden.
$\frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2}$
Schritt Zwei die Diskriminante, also das was unter der Wurzel steht ausrechnen.
Diskriminante D = $- 7$
Da die Diskriminante D hier negativ ist, folgt daraus das diese Funktion keine Nullstellen hat.
$3 x^{3} + 5 x^{2} + x$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellen
$3 x^{3} + 5 x^{2} + x$
Zu allererst schaust du dir an ob du eine Variable ausklammern kannst.
Bei dieser Funktion kannst du ein x ausklammern.
$x \cdot (3 x^{2} + 5 x + 1)$
Jetzt überlegst du dir wann die Funktion Null wird.
Das Produkt zweier Faktoren wird genau dann Null wenn ein Faktor Null wird.
Für $x = 0$ folgt $0 \cdot (0 + 0 + 1) = 0$
Wie du siehst ist $x_{1} = 0$ eine Nullstelle der Funktion.
$3 x^{2} + 5 x + 1$
Jetzt schaust du dir nur noch den Term in der Klammer an.
Dieser ist eine quadratische Funktion und quadratische Funktionen löst du mit der Mitternachtsformel.
$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$
Mitternachtsformel anwenden
$\frac{- 5 \pm \sqrt{1} 3}{6}$
Diskriminante ausrechnen.
Wie du siehst ist die D positiv, daraus folgt es gibt zwei Lösungen für x
$x_{2 / 3} = \frac{- 5 + \sqrt{13}}{6}$ und $\frac{- 5 - \sqrt{13}}{6}$
$x_{1} = 0$ und $x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{13}}{6}$ und $x_{3} = \frac{- 5 - \sqrt{13}}{6}$
Die Funktion hat also 3 Nullstellen.
$x^{2} - 12 x + 36$

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$x^{2} - 12 x + 36$
Du kannst die Nullstellen natürlich auch mit der Mitternachtsformel lösen.
Allerdings kannst du dir viel Arbeit sparen, wenn du erkennst das hier die 2. binomische Formel steht.
$(x - 6)^{2}$
Jetzt musst du schauen wann die Klammer null wird.
Hier wird die Klammer für $x = 6$ Null.
Damit ist die Nullstelle der Funktion $x = 6$
$(x + 3) \cdot (x - 4)$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellen
Die Funktion steht in Faktorform da.
$(x + 3) \cdot (x - 4)$
Du kannst die Nullstellen ablesen.
Die Funktion besitzt zwei Nullstellen bei $x_{1} = 4$ und $x_{2} = - 3$
$4 x^{2} - 25$

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In der Funktion findest du die 3. binomische Formel.
$f (x) = 4 x^{2} - 25$
An dieser Stelle lässt sich die 3. binomische Formel anwenden.
$f (x) = (2 x - 5) \dot{(} 2 x + 5)$
Die Funktion steht jetzt in Faktorform da.
Jetzt schaust du dir die einzelnen Faktoren an.
Der erste Faktor: $(2 x - 5)$
An dieser Stelle setzt du den Term in der Klammer gleich Null.
$- 100 + x^{2}$

$- 100 + x^{2}$ $=$ $0$
↓
$+ 100$
$x^{2}$ $=$ $100$
↓
Wurzelziehen
$x$ $=$ $\pm 10$
Also sind die Nullstellen $x_{1} = - 10$ und $x_{2} = 10$ .
$x^{2} + 6 x + 1$

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$- 100 + x^{2}$	$=$	$0$
	↓	$+ 100$
$x^{2}$	$=$	$100$
	↓	Wurzelziehen
$x$	$=$	$\pm 10$