Exercises: Tangent of a parabola

Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9$ durch den Punkt $B (2 | y)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Tangente an Parabel berechnen

$f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9, B (2 | y)$

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

$- 3 x^{2} + 12 x - 9 = m x + t$

Bringe alles auf eine Seite

$- 3 x^{2} + (12 - m) x - 9 - t = 0$

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

$D = (12 - m)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 9 - t) = m^{2} - 24 m + 36 - 12 t = 0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y = - 3 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 9 = 3$

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

$3 = 2 m + t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

$m^{2} - 24 m + 36 - 12 (3 - 2 m) = m^{2} = 0$

Löse nach m auf und setze in t ein

$m = 0 \Rightarrow t = 3$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = 3$

$f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9, B (2 | y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$f ‘ (x) = - 6 x + 12$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$f ‘ (2) = - 6 \cdot 2 + 12 = 0 = m$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$3 = 0 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 3$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = 3$

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