Exercises: Tangent of a parabola

Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = x^{2} - 18 x + 85$ durch den Punkt $B (9 | y)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Tangente an Parabel berechnen

$f (x) = x^{2} - 18 x + 85, B (9 | y)$

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

$x^{2} - 18 x + 85 = m x + t$

Bringe alles auf eine Seite

$x^{2} - (18 + m) x + 85 - t = 0$

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

$D = (18 + m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (85 - t) = m^{2} + 36 m - 16 + 4 t = 0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y = 9^{2} - 18 \cdot 9 + 85 = 4$

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

$4 = 9 m + t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

$m^{2} + 36 m - 16 + 4 (4 - 9 m) = m^{2} = 0$

Löse nach m auf und setze in t ein

$m = 0 \Rightarrow t = 4$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = 4$

$f (x) = x^{2} - 18 x + 85, B (9 | y)$

Berechne die Ableitung der Parabel.

$f ‘ (x) = 2 x - 18$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$f ‘ (9) = 2 \cdot 9 - 18 = 0 = m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y = 9^{2} - 18 \cdot 9 + 85 = 4$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$4 = 0 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 4$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = 4$

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