Exercises: Tangent of a parabola

Berechne die Tangente an die Funktion $g (x) = x^{2} + 4 x$ durch den Punkt $B (2 | y)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Tangente an Parabel berechnen

$g (x) = x^{2} + 4 x, B (2 | y)$

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

$x^{2} + 4 x$	$=$	$m x + t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$x^{2} + (4 - m) x - t$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D$	$=$	$(4 - m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)$
	$=$	$m^{2} - 8 m + 16 + 4 t$
	$=$	$0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y$	$=$	$2^{2} + 4 \cdot 2$
	↓	Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
	$=$	$12$
$12$	$=$	$2 m + t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

$m^{2} - 8 m + 16 + 4 (12 - 2 m) = m^{2} - 16 m + 64 = 0$

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )

$m^{2} - 16 m + 64 = (m - 8)^{2} = 0 \Rightarrow m = 8$

Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

$12 = 8 \cdot 2 + t \Rightarrow t = - 4$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = 8 x - 4$

$g (x) = x^{2} + 4 x, B (2 | y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$g ‘ (x) = 2 x + 4$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$g ‘ (2) = 2 \cdot 2 + 4 = 8 = m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y = 2^{2} + 4 \cdot 2 = 12$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$12 = 8 \cdot 2 + t \Rightarrow t = - 4$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = 8 x - 4$

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