Exercises: Simple rational functions

Setze $P_1(-2|\mathrm{0,6})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1$ ein:

$\begin{array}{rcll}\mathrm{0,6}& =& {\displaystyle \frac{2}{-2-3}}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,6}& =& {\displaystyle \frac{2}{-5}}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,6}& =& -\mathrm{0,4}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,6}& =& \mathrm{0,6}& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_1$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_2(-1|\mathrm{0,4})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1$ ein:

$\begin{array}{rcll}\mathrm{0,4}& =& {\displaystyle \frac{2}{-1-3}}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,4}& =& {\displaystyle \frac{2}{-4}}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,4}& =& -\mathrm{0,5}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,4}& =& \mathrm{0,5}& \end{array}$

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_2$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_3(1|0)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1$ ein:

$\begin{array}{rcll}0& =& {\displaystyle \frac{2}{1-3}}+1& \\ & & & \\ 0& =& {\displaystyle \frac{2}{-2}}+1& \\ & & & \\ 0& =& -1+1& \\ & & & \\ 0& =& 0& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_3$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_4(4|3)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1$ ein:

$\begin{array}{rcll}3& =& {\displaystyle \frac{2}{4-3}}+1& \\ & & & \\ 3& =& {\displaystyle \frac{2}{1}}+1& \\ & & & \\ 3& =& 2+1& \\ & & & \\ 3& =& 3& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_5(\mathrm{3,5}|4)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1$ ein:

$\begin{array}{rcll}4& =& {\displaystyle \frac{2}{\mathrm{3,5}-3}}+1& \\ & & & \\ 4& =& {\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,5}}}+1& \\ & & & \\ 4& =& 4+1& \\ & & & \\ 4& =& 5& \end{array}$

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_5$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$.

Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $\mathrm{1,3,4}$

Setze $P_1(-5|-\mathrm{1,1})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-\mathrm{1,1}& =& {\displaystyle \frac{-3}{-5+1}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{1,1}& =& {\displaystyle \frac{-3}{-4}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{1,1}& =& \mathrm{0,75}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{1,1}& =& -\mathrm{1,25}& \end{array}$

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_1$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_2(-4|-1)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-1& =& {\displaystyle \frac{-3}{-4+1}}-2& \\ & & & \\ -1& =& {\displaystyle \frac{-3}{-3}}-2& \\ & & & \\ -1& =& 1-2& \\ & & & \\ -1& =& -1& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_2$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_3(-2|1)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}1& =& {\displaystyle \frac{-3}{-2+1}}-2& \\ & & & \\ 1& =& {\displaystyle \frac{-3}{-1}}-2& \\ & & & \\ 1& =& 3-2& \\ & & & \\ 1& =& 1& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_3$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_4(1|-\mathrm{3,5})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-\mathrm{3,5}& =& {\displaystyle \frac{-3}{1+1}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{3,5}& =& {\displaystyle \frac{-3}{2}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{3,5}& =& -\mathrm{1,5}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{3,5}& =& -\mathrm{3,5}& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_5(4|-\mathrm{2,6})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-\mathrm{2,6}& =& {\displaystyle \frac{-3}{4+1}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,6}& =& {\displaystyle \frac{-3}{5}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,6}& =& -\mathrm{0,6}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,6}& =& -\mathrm{2,6}& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_5$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $\mathrm{2,3,4,5}$

Setze $P_1(-4|-\mathrm{2,5})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{x+\mathrm{1,5}}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-\mathrm{2,5}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-4+\mathrm{1,5}}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,5}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-\mathrm{2,5}}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,5}& =& -\mathrm{0,6}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,5}& =& -\mathrm{2,6}& \end{array}$

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_1$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$.

Weil f(-4) = -2,6 < -2,5 gilt, liegt der Punkt unterhalb des Graphen von f.

Setze $P_2(-3|-3)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{x+\mathrm{1,5}}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-3& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-3+\mathrm{1,5}}}-2& \\ & & & \\ -3& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-\mathrm{1,5}}}-2& \\ & & & \\ -3& =& -1-2& \\ & & & \\ -3& =& -3& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_2$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_3(-2|-\mathrm{5,5})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{x+\mathrm{1,5}}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-\mathrm{5,5}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-2+\mathrm{1,5}}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{5,5}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-\mathrm{0,5}}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{5,5}& =& -3-2& \\ & & & \\ -\mathrm{5,5}& =& -5& \end{array}$

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_3$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$.

Weil f(-2) = -5 > -5,5 gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.

Setze $P_4(-1|1)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{x+\mathrm{1,5}}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}1& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-1+\mathrm{1,5}}}-2& \\ & & & \\ 1& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{0,5}}}-2& \\ & & & \\ 1& =& 3-2& \\ & & & \\ 1& =& 1& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_5(1|-\mathrm{1,3})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{x+\mathrm{1,5}}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-\mathrm{1,3}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{1+\mathrm{1,5}}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{1,3}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{2,5}}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{1,3}& =& \mathrm{0,6}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{1,3}& =& -\mathrm{1,4}& \end{array}$

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_5$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$.

Weil f(1) = -1,4 < -1,3 gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.

Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $\mathrm{2,4}$