Exercises: Simple rational functions

Die folgenden Bilder zeigen die Funktionsgraphen einer Funktion der Form

\displaystyle f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c_{ }

Bestimme die Parameter $a$ , $b$ und $c$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 0$ liegt. Die Hyperbel wurde also nicht nach oben oder unten verschoben.
$\Rightarrow c=0$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
$\Rightarrow b=0$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 Längeneinheit nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 1$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f\left(x\right)=\frac{a}{x+0}+0 =\frac ax$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}P(1|1) \Rightarrow f(1)&=&1\\\frac a1&=&1\\a&=&1\end{array}$
Lösung
$a = 1$ , $b = 0$ und $c = 0$
$\displaystyle \Rightarrow \;\;\;f(x)=\frac 1x$
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Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 2$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 2 Längeneinheiten nach oben verschoben.
$\Rightarrow c=2$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
$\Rightarrow b=0$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 Längeneinheit nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 4$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f\left(x\right)=\frac{a}{x+0}+2 =\frac ax +2$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}P(1|6) \Rightarrow &f(1)&=&6\\&\frac a1+2&=&6&|-2\\&a &=&4\end{array}$
Lösung
$a = 4$ , $b = 0$ und $c = 2$
$\displaystyle \Rightarrow \;\;\;f(x)=\frac{4}{x}+2$
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Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = - 2$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 2 nach unten verschoben.
$\Rightarrow c=-2$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = - 3$ . Die Hyperbel wurde also um 3 nach links verschoben.
$\Rightarrow b=3$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 1$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f\left(x\right)=\frac{a}{x+3}-2$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}P(-2|-1) \Rightarrow f(-2)&=&-1\\\frac {a}{-2+3}-2&=&-1\\\frac a1&=&1\\a&=&1\end{array}$
Lösung
$a = 1$ , $b = 3$ und $c = - 2$
$\displaystyle \Rightarrow \;\;\;f(x)=\frac{1}{x+3}-2$
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Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 0$ liegt. Die Hyperbel wurde also nicht nach oben oder unten verschoben.
$\Rightarrow c=0$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
$\Rightarrow b=0$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 2$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f\left(x\right)=\frac{a}{x+0}+0 =\frac ax$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}P(1|2) \Rightarrow f(1)&=&2\\\frac a1&=&2\\a&=&2\end{array}$
Lösung
$a = 2$ , $b = 0$ und $c = 0$
$\displaystyle \Rightarrow \;\;\;f(x)=\frac{2}{x}$
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Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 1$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 1 nach oben verschoben.
$\Rightarrow c=1$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = - 5$ . Die Hyperbel wurde also um 5 nach links verschoben.
$\Rightarrow b=5$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = - 1$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f\left(x\right)=\frac{a}{x+5}+1$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}P(-4|0) \Rightarrow &f(-4)&=&0\\&\frac {a}{-4+5}+1&=&0&|-1\\&\frac a1&=&-1\\&a&=&-1\end{array}$
Lösung
$a = - 1$ , $b = 5$ und $c = 1$
$\displaystyle \Rightarrow \;\;\; f(x)=\frac{-1}{x+5}+1$
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Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagerechte Asymptote bei $y = 3$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 3 nach oben verschoben.
$\Rightarrow c=3$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 6$ . Die Hyperbel wurde also um 6 nach rechts verschoben.
$\Rightarrow b=-6$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 2$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f\left(x\right)=\frac{a}{x-6}+3$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}P(7|5) \Rightarrow &f(7)&=&5\\&\frac {a}{7-6}+3&=&5&|-3\\&\frac a1&=&2\\&a&=&2\end{array}$
Lösung
$a = 2$ , $b = - 6$ und $c = 3$
$\displaystyle \Rightarrow \;\;\;f(x)=\frac{2}{x-6}+3$
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Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.