Exercises: Simple rational functions

Gegeben sind gebrochen-rationalen Funktionen der Form:

f (x) = \frac{a}{x + b} + c

1 Gib an und begründe, welche Gleichung die waagerechte Asymptote und die senkrechte Asymptote der gebrochen-rationalen Funktion hat.

2 Zeichne die Asymptoten in ein Koordinatensystem ein.

3 Erstelle eine Wertetabelle im Bereich $x = - 5$ bis $x = 5$ für die gebrochen-rationale Funktion. Zeichne dann den Graphen der gebrochen-rationalen Funktion in das Koordinatensystem ein.

$f_{1} (x) = \frac{2}{x - 1} - 1$

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Aus dem Funktionsterm von $f_{1} (x)$ liest Du den Wert für $c$ ab:
$c = - 1$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um eine Einheit in negative y-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die waagerechte Asymptote ist $y = - 1$ .
Aus dem Funktionsterm von $f_{1} (x)$ liest Du den Wert für $b$ ab:
$b = - 1$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um eine Einheit in positive x-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die senkrechte Asymptote ist $x = 1$ .
Teilaufgabe 2
Zeichne die Asymptoten $y = - 1$ und $x = 1$ in ein Koordinatensystem ein.
Teilaufgabe 3
Erstelle eine Wertetabelle:
Anmerkung: An der Stelle $x = 1$ ist die Funktion $f_{1} (x)$ nicht definiert (abgekürzt mit n.d.), das heißt an der Stelle $x = 1$ liegt eine Definitionslücke vor.
Trage die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde sie. In der Nähe der senkrechten Asymptote $x = 1$ kannst du noch Zwischenwerte berechnen. So kannst du den Graphen genauer zeichnen.
Graph der Funktion $f_{1} (x) = \frac{2}{x - 1} - 1$
$f_{2} (x) = \frac{- 3}{x + 2} + 1$

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Aus dem Funktionsterm von $f_{2} (x)$ liest Du den Wert für $c$ ab:
$c = 1$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um eine Einheit in positive y-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die waagerechte Asymptote ist $y = 1$ .
Aus dem Funktionsterm von $f_{2} (x)$ liest Du den Wert für $b$ ab:
$b = 2$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um zwei Einheiten in negative x-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die senkrechte Asymptote ist $x = - 2$ .
Teilaufgabe 2
Zeichne die Asymptoten $y = 1$ und $x = - 2$ in ein Koordinatensystem ein.
Teilaufgabe 3
Erstelle eine Wertetabelle:
Anmerkung: An der Stelle $x = - 2$ ist die Funktion $f_{2} (x)$ nicht definiert (abgekürzt mit n.d.), das heißt an der Stelle $x = - 2$ liegt eine Definitionslücke vor.
Trage die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde sie.
Graph der Funktion $f_{2} (x) = \frac{- 3}{x + 2} + 1$
$f_{3} (x) = \frac{1,5}{x - 1,5} + 3$

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Aus dem Funktionsterm von $f_{3} (x)$ liest Du den Wert für $c$ ab:
$c = 3$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um drei Einheiten in positive y-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die waagerechte Asymptote ist $y = 3$ .
Aus dem Funktionsterm von $f_{3} (x)$ liest Du den Wert für $b$ ab:
$b = - 1,5$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um $1,5$ Einheiten in positive x-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die senkrechte Asymptote ist $x = 1,5$ .
Teilaufgabe 2
Zeichne die Asymptoten $y = 3$ und $x = 1,5$ in ein Koordinatensystem ein.
Teilaufgabe 3
Erstelle eine Wertetabelle:
Anmerkung: Die Definitionlücke $x = 1,5$ erscheint nicht in der Wertetabelle.
Trage die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde sie.
Graph der Funktion $f_{3} (x) = \frac{1,5}{x - 1,5} + 3$