Exercises: Simple rational functions

Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .

Ermittle die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationale Funktion mit folgenden Eigenschaften.

Der Graph der gesuchten Funktion $f$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y = 2,5$ , eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x = - 3$ und verläuft durch den Punkt $T (0 | 3,5)$ .

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Die waagerechte Asymptote hat die Funktionsgleichung $y = 2,5$ . Der Parameter $c$ beschreibt die Verschiebung des Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung. Demnach muss $c = 2,5$ sein. Die Funktionsgleichung sieht somit folgendermaßen aus:
$f (x) = \frac{a}{x + b} + 2,5$
Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung $x = - 3$ . Der Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert $3$ haben: $\Rightarrow b = 3 \Rightarrow f (x) = \frac{a}{x + 3} + 2,5$
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T (0 | 3,5)$ in die Funktionsgleichung von $f (x)$ ein und löse nach $a$ auf.
$\begin{array}{rcl} 3,5 & = & \frac{a}{0 + 3} + 2,5 & | - 2,5 \\ 1 & = & \frac{a}{3} & | \cdot 3 \\ a & = & 3 \end{array}$
Antwort: Der Graph der Funktion $f (x) = \frac{3}{x + 3} + 2,5$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y = 2,5$ , eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x = - 3$ und geht durch den Punkt $T (0 | 3,5)$ .
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Überlege dir, welche Auswirkungen die Parameter $b$ und $c$ auf den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ haben.
Der Graph der gesuchten Funktion $f$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y = 1,5$ , schneidet die x-Achse im Punkt $N (- 2 | 0)$ und schneidet die y-Achse nicht.

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Wenn die y-Achse nicht geschnitten werden soll, darf der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ nicht in positive oder negative x-Richtung verschoben werden. Der Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert $0$ haben:
$\Rightarrow b = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{a}{x} + c$ .
Die waagerechte Asymptote hat die Funktionsgleichung $y = 1,5$ . Der Parameter $c$ beschreibt die Verschiebung des Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung. Demnach muss $c = 1,5$ sein. Die Funktionsgleichung sieht somit folgendermaßen aus:
$f (x) = \frac{a}{x} + 1,5$
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N (- 2 | 0)$ in die Funktionsgleichung von $f (x)$ ein und löse nach $a$ auf.
$\begin{array}{rcl} 0 & = & \frac{a}{- 2} + 1,5 & | + \frac{a}{2} \\ \frac{a}{2} & = & 1,5 & | \cdot 2 \\ a & = & 3 \end{array}$
Antwort: Der Graph der Funktion $f (x) = \frac{3}{x} + 1,5$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y = 1,5$ , schneidet die y-Achse nicht und geht durch den Punkt $N (- 2 | 0)$ .
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Überlege dir, welche Auswirkungen die Parameter $b$ und $c$ auf den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ haben.

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