Exercises: Rational functions

Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an und untersuche das Verhalten des Graphen an den Definitionslücken sowie für $x \to \pm \infty$ . Skizziere den Graphen.

$f (x) = \frac{2 - x}{0,2 x^{2} - 1}$

$g (x) = \frac{0,5 x^{2} - 2}{1 - x}$

$h (x) = x - 1 + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

For this task you need the following basic knowledge: Definitionsbereich bestimmen
Nenner: $x^{2} + 1$ wird nie 0
$\Rightarrow$ keine Definitionslücke
Bestimme den Definitionsbereich
$\Rightarrow D_{h} = ℝ$
Bestimme das Verhalten der Funktion
Die Funktion besteht nicht nur aus einem Bruch, sondern hat davor noch einen linearen Term.
$\Rightarrow$ Die Funktion hat eine schräge Asymptote.
Bestimme diese. (kann direkt abgelesen werden)
Asymptote: $y = x - 1$
Skizze
Prüfe, ob der Nenner 0 wird.

$k (x) = \frac{x}{2 x - 4} - \frac{x^{2} + 1}{x}$

$m (x) = \frac{2 + x + 0,5 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Gebrochen rationale Funktionen
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme die Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner 0 wird
$x^{2} - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
$x^{2}$ $=$ $4$ $\sqrt{}$
$x$ $=$ $\pm 2$
Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\Rightarrow D_{m} = ℝ \ {- 2; 2}$
Verhalten einer Funktion
Bestimme die beiden Grenzwerte (von links und von rechts) an der 1.Definitionslücke
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} - 2} m (x)$ $=$ $" \frac{2 - 2 + 2}{(- 4) \cdot 0^{-}} "$
$=$ $- \infty$
Bestimme die beiden Grenzwerte an der 2.Definitionslücke
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 2} m (x)$ $=$ $" \frac{2 + 2 + 2}{4 \cdot 0^{+}} "$
$=$ $+ \infty$
Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen. (Bestimme den Grenzwert im Unendlichen)
$\lim_{x \to \pm \infty} m (x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + x + 0,5 x^{2}}{x^{2} - 4}$
$\lim_{x \to \pm \infty} m (x)$ $=$ $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + x + 0,5 x^{2}}{x^{2} - 4}$
↓
Klammere $x^{2}$ im Zähler und im Nenner aus.
$=$ $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 0,5}{1 - \frac{4}{x^{2}}}$
↓
Berechne den Grenzwert
$=$ $\frac{0 \pm 0 + 0,5}{1 - 0} = 0,5$
Was bedeutet das für das Verhalten im Unendlichen?
$\Rightarrow$ Beidseitige Asymptote bei $y = 0,5$
Skizze
$n (x) = \frac{2}{x} + \frac{x^{2}}{2 x - 1}$

Gebrochen rationale Funktionen
Definitionsbereich bestimmen
$n (x)$ $=$ $\frac{2}{x} + \frac{x^{2}}{2 x - 1}$
$=$ $\frac{x^{3} + 4 x - 2}{x \cdot (2 x - 1)}$
Bestimme die Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner 0 wird.
$x (2 x - 1)$ $=$ $0$
Betrachte die beiden Faktoren getrennt
$\Rightarrow x = 0$
$2 x - 1$ $=$ $0$ $+ 1 | : 2$
$x$ $=$ $\frac{1}{2}$
Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\Rightarrow D_{n} = ℝ \ {0; 0,5}$
Verhalten einer Funktion
Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1.Definitionslücke. Bestimme dazu die beiden Grenzwerte, die sich von unten bzw. oben an diese annähern.
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 0} n (x)$ $=$ $" \frac{0 + 0 - 2}{0^{+} \cdot (- 1)} "$
$=$ $+ \infty$
Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2.Definitionslücke
$n (x)$ $=$ $\frac{x^{3} + 4 x - 2}{2 x^{2} - x}$
↓
Forme den Term mit Polynomdivision um
$=$ $0,5 x + 0,25 + \frac{4,25 x - 2}{2 x^{2} - 2}$
Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab und gib sie an.
$\Rightarrow$ Asymptote bei $y = 0,5 x + 0,25$
Skizze

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$1 - x$	$=$	$0$	$+ x$
$\Rightarrow x$	$=$	$1$
	↓	Schließe die Definitionslücke aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\Rightarrow D_{g}$	$=$	$ℝ \ {1}$
	↓	Bestimme das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 1} g (x)$	$=$	$" \frac{- 1,5}{0^{+}} " = - \infty$
	↓	Untersuche das Verhalten im Unendlichen. Da der Zählergrad, der Funktion größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote.
$g (x)$	$=$	$\frac{0,5 x^{2} - 2}{1 - x}$
	↓	Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision.
	$=$	$- 0,5 x - 0,5 + \frac{1,5}{x - 1}$
	↓	Gib die schräge Asymptote an, da diese das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

$k (x)$	$=$	$\frac{x}{2 x - 4} - \frac{x^{2} + 1}{x}$	$- x + 0,5 + \frac{2}{x \cdot (x - 2)}$
	↓	Fasse die beiden Brüche zu einem Bruch zusammen
	$=$	$\frac{- 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{2 x (x - 2)}$
	↓	Da der Zählergrad größer ist, als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote. Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .
	$=$	$- x + 0,5 + \frac{2}{x \cdot (x - 2)}$

$f (x)$	$=$	$\frac{2 - x}{0,2 x^{2} - 1}$
	↓	Untersuche, wann der Nenner null wird
$0,2 x^{2} - 1$	$=$	$0$	$: 0,2 + 1$
$x^{2}$	$=$	$5$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$\pm \sqrt{5}$
	↓	Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\Rightarrow D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- \sqrt{5}, \sqrt{5}}$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} \sqrt{5}} f (x)$	$=$	$" \frac{2 - \sqrt{5}}{0^{+}} " = - \infty$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} \sqrt{5}} f (x)$	$=$	$" \frac{2 + \sqrt{5}}{0^{+}} " = - \infty$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion im Unentlichen (Klammere dazu $x^{2}$ aus)
$\lim_{x \to \pm \infty} f (x)$	$=$	$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x}}{0,2 - \frac{1}{x^{2}}}$
	$=$	$\frac{0 \pm 0}{0,2 - 0} = 0$

$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 0} k (x)$	$=$	$" \frac{4}{0^{+} \cdot (- 2)} "$
	$=$	$- \infty$

$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 2} k (x)$	$=$	$" \frac{- 16 + 20 - 4 + 4}{8 \cdot 0^{+}} "$
	$=$	$+ \infty$

$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} - 2} m (x)$	$=$	$" \frac{2 - 2 + 2}{(- 4) \cdot 0^{-}} "$
	$=$	$- \infty$

$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 2} m (x)$	$=$	$" \frac{2 + 2 + 2}{4 \cdot 0^{+}} "$
	$=$	$+ \infty$

$\lim_{x \to \pm \infty} m (x)$	$=$	$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + x + 0,5 x^{2}}{x^{2} - 4}$
	↓	Klammere $x^{2}$ im Zähler und im Nenner aus.
	$=$	$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 0,5}{1 - \frac{4}{x^{2}}}$
	↓	Berechne den Grenzwert
	$=$	$\frac{0 \pm 0 + 0,5}{1 - 0} = 0,5$

$n (x)$	$=$	$\frac{2}{x} + \frac{x^{2}}{2 x - 1}$
	$=$	$\frac{x^{3} + 4 x - 2}{x \cdot (2 x - 1)}$

$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 0} n (x)$	$=$	$" \frac{0 + 0 - 2}{0^{+} \cdot (- 1)} "$
	$=$	$+ \infty$

$n (x)$	$=$	$\frac{x^{3} + 4 x - 2}{2 x^{2} - x}$
	↓	Forme den Term mit Polynomdivision um
	$=$	$0,5 x + 0,25 + \frac{4,25 x - 2}{2 x^{2} - 2}$

Exercises: Rational functions

Skizze

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Skizze

Skizze

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