Exercises: Rational functions

Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.

- Der Graph von $f$ berührt die x-Achse an der Stelle $x = - 1$ ;
- die Funktion $f$ hat die Polstelle $x = 3$ .
For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktion
Überlege dir die Form einer gebrochen-rationalen Funktion und setze die 1. Bedingung ein. Da der Graph die x-Achse bei $x = - 1$ berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle.
$f (x) = \frac{y}{z} = \frac{(x + 1)^{2}}{z}$
Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei $x = 3$ geben.
$f (x) = \frac{(x + 1)^{2}}{x - 3}$
Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei $x_{1} = 2$ und für $x \to \pm \infty$ die Asymptote $y = 0,5$

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktion
Stelle eine allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion auf:
$f (x) = \frac{y}{z}$
Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)
$\Rightarrow$ Funktion bei 2 nicht definiert
$\Rightarrow f (x) = \frac{y}{{(x - 2)}^{2}}$
Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5), d. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.
$\Rightarrow f (x) = \frac{0,5 \cdot x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$
Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)
Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 2$ und für $x \to \pm \infty$ die Asymptote $y = 0,5 x - 1$

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktion
Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac{y}{z}$
Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2
$f_{1} (x) = \frac{1}{(x + 1) (x - 2)}$
Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $0,5 x - 1$
$\Rightarrow f (x) = 0,5 x - 1 + \frac{1}{(x + 1) (x - 2)}$
Zeichne eine Skizze der Funktion
Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x_{1} = - 2$ , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für $x \to \pm \infty$ die Asymptote $y = 0$

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktion
Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac{y}{z}$
Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2
$\Rightarrow$ auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll
$f (x) = \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{1}{x^{2} - 4}$
Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung
$\Rightarrow f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$
Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
Der Graph von f hat eine Polstelle bei $x_{1} = 0$ und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für $x \to \pm \infty$ hat der Graph die Asymptote $y = 0$ und bei $x_{2} = 2$ befindet sich eine Nullstelle.

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktion
Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = $\frac{y}{z}$
Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch
$\Rightarrow$ bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz
$f (x) = \frac{1}{x^{2 n}}$
Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $y = 0$
$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$
Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch.
$\Rightarrow f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{4}}$
Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).

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