The Open Learning Platform

Exercises: Rational functions

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto f (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ mit maximaler Definitionsmenge.

Gib die maximale Definitionsmenge an.

For this task you need the following basic knowledge: Definitionsbereich festlegen
$f (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$
Die Funktion hat eine Definitionslücke bei 0, da nicht durch 0 geteilt werden darf.
$\Rightarrow$ $D_{f} = ℝ \ {0}$
Weise nach, dass der Graph der Funktion $f$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

For this task you need the following basic knowledge: Symmetrie prüfen
$f (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$
Ersetze x durch -x.
$f (- x) = \frac{1}{{(- x)}^{2}} + 2$
$= \frac{1}{x^{2}} + 2 = f (x)$
Da $f (- x) = f (x)$ ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse .
Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.
Für welche Werte von $x$ unterscheiden sich die Funktionswerte der Funktion $f$ um weniger als $\frac{1}{100}$ vom Wert $2$ ?

$| f (x) - 2 |$ $<$ $\frac{1}{100}$
↓
Setze $f (x)$ ein.
$| \frac{1}{x^{2}} + 2 - 2 |$ $<$ $\frac{1}{100}$
$| \frac{1}{x^{2}} |$ $<$ $\frac{1}{100}$
↓
Den Betrag weglassen, da die linke Seite, aufgrund des $x^{2}$ immer positiv ist.
$\frac{1}{x^{2}}$ $<$ $\frac{1}{100}$ $\cdot x^{2} \cdot 100$
$100$ $<$ $x^{2}$ $\sqrt{}$
Da nicht bekannt ist, ob x positiv oder negativ ist, gibt es zwei Lösungsbereiche:
$10 < x$
$- 10 > x$
Die gesamte Lösung sind beide Lösungsbereiche vereinigt.
$x < - 10$ oder $x > 10$

This content is licensed under
CC BY-SA 4.0 → What does that mean? serlo.org