Applied exercises: Rational functions

Der Streckenverlauf wird durch eine gebrochenrationale Funktion erfasst, so dass deren Steigungsverhalten zu untersuchen ist.

Die Funktion $h$ ist wegen $h(x)=h(-x)$ achsensymmetrisch zu $x=0$ und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung von $h$ in den Wendepunkten höchstens 6 % beträgt.

$h(x)={\displaystyle \frac{3}{x^2+6}}$

Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel $h^{\prime }(x)$

$\begin{array}{rcc}{h}^{\prime }(x)& =& {\displaystyle \frac{0\cdot (x^2+6)-3\cdot 2x}{(x^2+6{)}^2}}\\ & =& -{\displaystyle \frac{6x}{{(x^2+6)}^2}}\end{array}$

Bilde jetzt die 2. Ableitung $h^{\prime \prime }(x)$

$\begin{array}{ccc}{h}^{\prime \prime }(x)& =& -{\displaystyle \frac{6(x^2+6{)}^2-24x^2(x^2+6)}{(x^2+6{)}^4}}\\ & & \\ & =& -{\displaystyle \frac{6(x^2+6)[(x^2+6)-4x^2]}{(x^2+6{)}^4}}\\ & & \\ & =& -{\displaystyle \frac{6(x^2+6)(6-3x^2)}{(x^2+6{)}^4}}\\ & & \\ & =& +{\displaystyle \frac{18(x^2+6)(x^2-2)}{(x^2+6{)}^4}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{18(x^2-2)}{(x^2+6{)}^3}}\end{array}$

Löse jetzt die Gleichung $h^{\prime \prime }(x)=0$ um die Wendepunkte und somit die Stellen des größten Steigungsbetrags der Funktion $h$ zu bestimmen

$\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x_1=-\sqrt{2}\text{und}{x}_2=+\sqrt{2}$

$x_1$ und $x_2$ liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da $h^{\prime \prime }(x)$ bei $x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{2}$ das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.

Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:

Ergebnis:

Damit kann die Autobahnteilstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.

Für diese Teilaufgabe muss die Steigung einer quadratischen Funktion untersucht werden.

$\begin{array}{l}\begin{array}{c}h:y={\displaystyle \frac{3}{x^2+6}}\end{array}\\ \end{array}$

$\begin{array}{c}p:y=-{\displaystyle \frac{3}{484}}(x^2-38)\end{array}$

Bestimme die Funktionswerte von $h$ und $p$ an den Stellen $-4$ und $4$, an denen die beiden Funktionen aneinandergefügt sind.

$\begin{array}{c}h(\pm 4)=p(\pm 4)={\displaystyle \frac{3}{22}}\end{array}$

Die Funktionswerte stimmen also überein. Die Straße hat keinen "Sprung"

Berechne die ersten beiden Ableitungen von $p$.

$\begin{array}{l}\begin{array}{c}{p}^{\prime }:y=-{\displaystyle \frac{6x}{484}}\end{array}\\ \end{array}$

$\begin{array}{c}{p}^{\prime \prime }:y=-{\displaystyle \frac{6}{484}}\end{array}$

Bestimme nun die Werte von $p^{\prime }$ am Rand der Definitionsmenge von $p$

Da $p^{\prime \prime }$ eine konstante Funktion und $<0$ ist, liegen die Werte der Steigung von $p$ im Intervall $[-4;4]$ im Bereich $\begin{array}{c}[-{\displaystyle \frac{6}{121}};{\displaystyle \frac{6}{121}}]\end{array}$. Der Betrag der Steigung ist also immer $\le 5\%$.

Ergebnis:

Diese Autobahnteilstrecke kann im Hinblick auf den Höhenverlauf gebaut werden.

Tipp: Mit einem Programm wie Geogebra kannst du den graphischen Verlauf der Autobahnstrecke "nachbauen" und mit dem Steigungsverhalten experimentieren und deine Rechenergebnisse bestätigen.

Verschiebe im Geogebra-Applet die Punkte A, B, C, D und bestätige mit den jeweils abzulesenden Steigungswerten deine Rechenergebnisse aus den Teilaufgaben a und b.