Applied exercises: Rational functions

Beim Neubau von Autobahnen werden Steigungen über 6% vermieden. Deshalb sind oft Untertunnelungen oder Geländeabtragungen nötig.

Bei dieser Aufgabe wird das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke durch die Funktion

h : h (x) = \frac{4}{9 + x^{2}}

beschrieben (siehe Fig. 1).

Begründe rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

For this task you need the following basic knowledge: Gebrochenrationale Funktionen
Die Funktion h ist wegen $h (x) = h (- x)$ achsensymmetrisch zu x = 0 und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung in den Wendepunkten höchstens 6% beträgt.
$h (x) = \frac{4}{9 + x^{2}}$
Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel $h^{'} (x)$ .
$\begin{aligned} h^{'} (x) & = \frac{0 \cdot (9 + x^{2}) - 4 \cdot 2 x}{(9 + x^{2})^{2}} \\ = - \frac{8 x}{(9 + x^{2})^{2}} \end{aligned}$
Bilde jetzt die 2. Ableitung $h^{''} (x)$ .
$\begin{aligned} h^{''} (x) & = - \frac{8 (9 + x^{2})^{2} - 8 x \cdot 2 (9 + x^{2}) \cdot 2 x}{(9 + x^{2})^{4}} \\ = - \frac{8 (9 + x^{2})^{2} - 32 (9 + x^{2}) x^{2}}{(9 + x^{2})^{4}} \\ = - \frac{8 (9 + x^{2}) [(9 + x^{2}) - 4 x^{2}]}{(9 + x^{2})^{4}} \\ = \frac{24 (x^{2} - 3)}{(9 + x^{2})^{3}} \end{aligned}$
Löse jetzt die Gleichung $h^{''} (x) = 0$ um die Wendepunkte und somit die Stellen des größten Steigungsbetrags der Funktion h zu bestimmen.
$\frac{24 (x^{2} - 3)}{(9 + x^{2})^{3}} = 0$
$\Rightarrow$ $x^{2} - 3 = 0$ $\Rightarrow$ $x_{1} = - \sqrt{3}$ und $x_{2} = + \sqrt{3}$
$x_{1}$ und $x_{2}$ liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da $h^{''} (x)$ bei $x_{1; 2} = \pm \sqrt{3}$ das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.
Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:
$| h^{'} (\pm \sqrt{3}) | = \frac{8 \sqrt{3}}{144} \approx 0,096$
Bei einer maximalen Steigung von 9,6 % kann die Autobahnstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.
Im Intervall [-2;+2] soll das Gelände daraufhin parabelförmig mit dem Höhenprofil
$p : p (x) = - \frac{4}{169} (x^{2} - 17)$
abgetragen werden (siehe die Fig.2 und die Vergrößerung in Fig.3)
Kann die Autobahn jetzt gebaut werden?
Bestätige das Rechenergebnis graphisch, indem du z.B. in einem Geogebra-Applet die kritischen Steigungswerte überprüfst!

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktionen
$h : y = \frac{4}{9 + x^{2}}$
$p : y = - \frac{4}{169} (x^{2} - 17)$
$h (\pm 2) = p (\pm 2) = \frac{4}{13}$
Bestimme die Funktionswerte der beiden Funktionen h und p an den Stellen $x = \pm 2$ an denen sie zusammengefügt werden sollen.
Die Funktionswerte stimmen überein. Die Autobahn hätte an diesen Stellen also keinen "Sprung".
Die nach unten geöffnete Parabel hat ihren größten Steigungsbetrag jeweils am Rande ihres Definitionsbereiches, also an den Stellen $x = \pm 2$ .
Berechne den Steigungsbetrag der Parabel p und der Funktion h an den "Nahtstellen" $x = \pm 2$ .
$h (x) = \frac{4}{9 + x^{2}} \Rightarrow h^{'} (x) = - \frac{8 x}{(9 + x^{2})^{2}} \Rightarrow | h^{'} (\pm 2) | \approx 0,0947$
$p (x) = - \frac{4}{169} (x^{2} - 17) \Rightarrow p^{'} (x) = - \frac{8 x}{169} \Rightarrow | p^{'} (\pm 2) | \approx 0,0947$
Die Streckenabschnitte würden also an den Nahtstellen ohne Sprung und sogar ohne Knick in einander übergehen. Aber mit dem maximalen Steigungsbetrag von rund 9,5%.Der geplante Geländeabbau ist somit nicht ausreichend. Die Autobahnstrecke könnte mit diesem Höhenprofil nicht erneuert werden.
In dem gegebenen Geogebra-Applet kannst du die Planungssituation graphisch nachvollziehen und durch Verschieben der Punkte A, B, C und D die Steigungswerte überprüfen.
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