Applied exercises: Rational functions

Um ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von $24 {cm}^{2}$ zu erhalten, kannst du die Länge (x in cm) und Breite (y in cm) der Seiten des Rechtecks unterschiedlich wählen.

a) Bestimme alle ganzzahligen Paare aus Länge und Breite, die ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von $24 {cm}^{2}$ ergeben. Trage die Wertepaare in eine Wertetabelle ein.

b) Stelle mit Hilfe der Tabelle den Zusammenhang der beiden Größen graphisch dar.

c) Bestimme nun den zum Graphen zugehörigen Funktionsterm. Vewende dazu die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.

For this task you need the following basic knowledge: Flächeninhalt eines Rechtecks

a) Du weißt aus der Angabe, dass der Flächeninhalt des Rechtecks $24 {cm}^{2}$ beträgt. Außerdem kannst du den Flächeninhalt eines Rechteck mit folgender Formel bestimmen: $A_{Rechteck} = Länge \cdot Breite = x \cdot y$ .

In dieser Aufgabe musst du also natürliche Zahlen finden, die miteinander multipliziert 24 ergeben. Es gibt folgende acht verschiedene Möglichkeiten:

x in cm	1	2	3	4	6	8	12	24
y in cm	24	12	8	6	4	3	2	1

Anhand dieses Applets kannst du dir die Lösung auch visuell bestätigen lassen.

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b) Mithilfe der Tabelle der Teilaufgabe a) kannst du diese Aufgabe lösen. Dazu betrachtet man die Tabelle als eine Wertetabelle und die Seitenpaare als Punkte mit einem x und einem y- Wert. Nun kannst du die Punkte in einem Koordinatensystem eintragen und erhältst folgende graphische Darstellung:

Dieser Graph entspricht einer Hyperbel.

Zusatz:

Hier kannst mit Hilfe des Applets die Kombination des Rechtecks mit der Hyperbel sehen. Wenn du bei der Leiste unten weiter klickst, siehst du die Punkte und kannst die Hyperbel zeichnen, indem du den Punkt B bewegst.

c) Um den zugehörigen Funktionsterm des Graphens zu finden, ist die Betrachtung der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks nützlich.

A_{Rechteck} = Länge \cdot Breite = x \cdot y

Du kannst nun für den Flächeninhalt $A_{Rechteck}$ den Wert aus der Angabe einsetzen.

24 {cm}^{2} = x \cdot y

Jetzt kannst du die Gleichung nach y auflösen und erhältst den zugehörigen Funktionsterm:

y = \frac{24 {cm}^{2}}{x}

Der Zusammenhang zwischen der Länge (x in cm) und der Breite (y in cm) eines Rechtecks mit einem Flächeninhalt von $24 {cm}^{2}$ wird mit folgendem Funktionsterm beschrieben:

f (x) = \frac{24}{x}; D_{f} = ℚ ∖ {0}

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