Exercises: Polynomial functions

Führe für jede Funktion jeweils eine vollständige Kurvendiskussion durch und zeichne die Graphen der Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem.

Folgende Aspekte werden in einer Kurvendiskussion untersucht:

Definitionsbereich
Nullstellen
Symmetrieverhalten
Extrem- und Wendepunkte
Grenzwerte
Monotonie

$f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$

Definitionsbereich festlegen
Artikel zum Thema
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{f} = ℝ$ .
$f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$
Um die Nullstellen von $f (x)$ zu bestimmten, wird $f (x) = 0$ gesetzt.
$x^{3} - x^{2} - x + 1 = 0$
Die erste Nullstelle muss erraten werden.
$f (1) = 1^{3} - 1^{2} - 1 + 1 = 0$
$\Rightarrow {NS}_{1} (1 | 0)$
Ermittle die restlichen Nullstellen, da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, mit der Polynomdivision.
Polynomdivision
Artikel zum Thema
$\begin{array}{l} (x^{3} - x^{2} - x + 1) \div (x - 1) = x^{2} - 1 \\ - (x^{3} - x^{2})) \\ - x + 1 \\ - (- x + 1) \\ 0 \end{array}$
Setze die erhaltene Funktion gleich 0.
$x^{2} - 1 = 0$
$x^{2} = 1$
Ziehe die Wurzel aus $x^{2}$ und $1$ .
$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{1}$
$\Rightarrow x_{2} = 1$
$\Rightarrow x_{3} = - 1$
Symmetrieverhalten
Artikel zum Thema
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade.
$\Rightarrow$ Der Graph ist weder achsen- noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
Prüfen ob $f (x) = f (- x)$
Hiermit wird geprüft ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft
$x^{3} - x^{2} - x + 1 = {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} - (- x) + 1$
$x^{3} - x^{2} - x + 1 \neq - x^{3} - x^{2} + x + 1$
Der Graph ist nicht achsensymmetrisch, da $f (x) \neq f (- x)$ .
Prüfen ob $f (- x) = - f (x)$
Hiermit wird geprüft ob der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.
${(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} - (- x) + 1 = - (x^{3} - x^{2} - x + 1)$
$- x^{3} - x^{2} + x + 1 \neq - x^{3} + x^{2} + x - 1$
Der Graph ist nicht punktsymmetrisch, da $f (- x) \neq - f (x)$ .
Ableitungen
Artikel zum Thema
Erste Ableitung
$f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1$
Zweite Ableitung
Die erste Ableitung von $f (x)$ ist Ausgangspunkt für die zweite Ableitung.
$f^{''} (x) = 6 x - 2$
Dritte Ableitung
$f^{'''} (x) = 6$
Extrema bestimmen
Artikel zum Thema
$f^{'} (x) = 0$
Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung.
$3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$
Da $f^{'} (x)$ ein Polynom zweiten Grades ist, können seine Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmt werden.
$x_{1,2} = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3}$
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - (- 12)}}{6}$
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6}$
$x_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{6}$
$x_{1} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Der erste $x$ -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion $f (x)$ eingesetzt 0 ergibt.
$x_{2} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}$
Der zweite $x$ -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion $f (x)$ eingesetzt 0 ergibt.
1. Extremum
Artikel zum Thema
$f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$
$x$ -Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
$f (1) = 1^{3} - 1^{2} - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$
$f (1) = 0$
Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt
$f^{''} (x) = 6 x - 2$
$f^{''} (1) = 6 \cdot 1 - 2 = 4$
Da $f^{''} (2) > 0$ hat $f (x)$ an der Stelle $(1 | 0)$ einen Tiefpunkt .
$\Rightarrow TP (1 | 0)$
2. Extremum
Artikel zum Thema
$f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$
$x$ -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
$f (- \frac{1}{3}) = {(- \frac{1}{3})}^{3} - {(- \frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{1}{3}) + 1$
$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1$
Bilde den gemeinsamen Nenner der Summanden .
$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 27}{1 \cdot 27}$
$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + \frac{27}{27}$
$f (- \frac{1}{3}) = \frac{32}{27}$
Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt
$f^{''} (x) = 6 x - 2$
$f^{''} (- \frac{1}{3}) = 6 \cdot (- \frac{1}{3}) - 2 = - 4$
Da $f^{''} (- \frac{1}{3}) < 0$ hat $f (x)$ an der Stelle $(- \frac{1}{3} | \frac{32}{27})$ einen Hochpunkt .
$\Rightarrow HP (- \frac{1}{3} | \frac{32}{27})$
Wendepunkte bestimmen
Artikel zum Thema
$f^{''} (x) = 6 x - 2$
Wegen $f^{'''} (x) = 6 \neq 0$ ist die Bedingung immer erfüllt.
$f^{''} (x) = 0$
$6 x - 2 = 0$
$6 x = 2$
$\Rightarrow$ $x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Wendepunkt $x = \frac{1}{3}$
$f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$
Gefundenes $x$ aus der Nullsetzung der zweiten Ableitung in $f (x)$ einsetzen.
$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - {(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 1$
$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1$
Bilde einen gemeinsamen Nenner für alle Summanden.
$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{27}{27}$
$f (\frac{1}{3}) = \frac{16}{27}$
$\Rightarrow WP (\frac{1}{3} | \frac{16}{27})$
Erster und einziger Wendepunkt der Funktion gefunden bei $(\frac{1}{3} | \frac{16}{27})$
Grenzwertbetrachtung
Artikel zum Thema
$D_{f} = ℝ$
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm \infty$ betrachtet werden.
Bei Polynomen wird der Grenzwert bei $\pm \infty$ durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt:
$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$
und
$\lim_{x \to - \infty} x^{3} = - \infty$
Daher ist $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ und $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ .
Monotonieverhalten
Artikel zum Thema
Die Monotonie der Funktion wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
$f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$

For this task you need the following basic knowledge: Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Definitionsbereich bestimmen
Da die Funktion ganzrational ist und keine Wurzeln oder Logarithmen aufweist, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{f} = ℝ$ .
Nullstellenbestimmung
Setze $f (x)$ gleich $0$ , um die Nullstellen von $G_{f}$ zu bestimmen.
$f (x)$ $=$ $0$
$2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$ $=$ $0$
Bei dieser Gleichung findet man durch das systematische Einsetzen von ganzzahligen Werten keine Nullstelle. Durch Substitution allerdings lässt sich aus der biquadratischen Gleichung ein Polynom zweiten Grades formen. Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
$x^{2} = u \Rightarrow f (u) = 2 u^{2} - 4 u + 1$
Setze nun $f (u) = 0$ :
$2 u^{2} - 4 u + 1 = 0$
Zur Lösung dieser Gleichung verwendest du die Mitternachtsformel.
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
$a = 2$ , $b = - 4$ und $c = 1$
$u_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = 2$ , $b = - 4$ und $ c = 1$ ein.
$=$ $\frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$
$=$ $\frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4}$
$=$ $\frac{4 \pm \sqrt{8}}{4}$
Du hast die beiden Lösungen
$u_{1} = \frac{4 + \sqrt{8}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{8}}{4} = 1 + \sqrt{0,5}$
und $u_{2} = \frac{4 - \sqrt{8}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{8}}{4} = 1 - \sqrt{0,5}$ erhalten.
Resubstitution:
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Setze also $x^{2} = u \Rightarrow$ $x^{2} = 1 + \sqrt{0,5}$ bzw. $x^{2} = 1 - \sqrt{0,5}$ und löse nach $x$ auf.
$x^{2}$ $=$ $1 + \sqrt{0,5}$ $\sqrt{}$
$x_{1,2}$ $=$ $\pm \sqrt{1 + \sqrt{0,5}}$
$\approx$ $\pm 1,31$
$x^{2}$ $=$ $1 - \sqrt{0,5}$ $\sqrt{}$
$x_{3,4}$ $=$ $\pm \sqrt{1 - \sqrt{0,5}}$
$\approx$ $\pm 0,54$
Der Graph der Funktion $f$ hat also insgesamt vier Nullstellen:
$N_{1} (1,31 | 0), N_{2} (- 1,31 | 0), N_{3} (0,54 | 0), N_{4} (- 0,54 | 0)$
Ableitungen
$f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$
Erste Ableitung:
$f^{'} (x) = 8 x^{3} - 8 x$
Zweite Ableitung:
$f^{''} (x) = 24 x^{2} - 8$
Extrema
Setze die erste Ableitung der Funktion gleich $0$ , um die Extrema von $G_{f}$ zu bestimmen.
$f^{'} (x)$ $=$ $0$
$8 x^{3} - 8 x$ $=$ $0$
↓
$x$ ausklammern
$x \cdot (8 x^{2} - 8)$ $=$ $0$
Du hast die Gleichung $x \cdot (8 x^{2} - 8) = 0$ erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst.
$x_{1} = 0$ oder $8 x^{2} - 8 = 0$
$8 x^{2} - 8$ $=$ $0$ $+ 8$
$8 x^{2}$ $=$ $8$ $: 8$
$x^{2}$ $=$ $1$
Die Gleichung $x^{2} = 1$ hat die beiden Lösungen $x_{2} = 1$ und $x_{3} = - 1$
1. Extremum
Zur Bestimmung des $y$ -Werts des Extremums muss der erste der gefundenen $x$ -Werte $x_{1} = 0$ in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
$f (x)$ $=$ $2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$
↓
Setze $x_{1} = 0$ ein.
$f (0)$ $=$ $2 \cdot 0^{4} - 4 \cdot 0^{2} + 1$
$=$ $1$
Um herauszufinden, ob der gefundene x-Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird $x_{1} = 0$ in die zweite Ableitung eingesetzt.
$f^{''} (x)$ $=$ $24 x^{2} - 8$
↓
Setze $x_{1} = 0$ ein.
$f^{''} (0)$ $=$ $24 \cdot 0^{2} - 8$
$=$ $- 8$
Da $f^{''} (0) < 0$ ist, befindet sich an der Stelle $x = 0$ ein Hochpunkt.
$\Rightarrow HP (0 | 1)$
2. Extremum
Zur Bestimmung des $y$ -Werts des Extremums muss der zweite der gefundenen $x$ -Werte $x_{2} = 1$ in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
$f (1)$ $=$ $2 \cdot 1^{4} - 4 \cdot 1^{2} + 1$
$=$ $- 1$
Um herauszufinden, ob der gefundene Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird $x_{2} = 1$ in die zweite Ableitung eingesetzt.
$f^{''} (x)$ $=$ $24 x^{2} - 8$
↓
Setze $x_{2} = 1$ ein.
$f^{''} (1)$ $=$ $24 \cdot 1^{2} - 8$
$=$ $16$
Da $f^{''} (1) > 0$ ist, befindet sich an der Stelle $x = 1$ ein Tiefpunkt.
$\Rightarrow T P (1 | - 1)$
3. Extremum
Zur Bestimmung des $y$ -Werts des Extremums muss der dritte der gefundenen $x$ -Werte $x_{3} = - 1$ in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
$f (- 1)$ $=$ $2 \cdot (- 1)^{4} - 4 \cdot (- 1)^{2} + 1$
$=$ $- 1$
Um herauszufinden, ob der gefundene Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird $x_{3} = - 1$ in die zweite Ableitung eingesetzt.
$f^{''} (x)$ $=$ $24 x^{2} - 8$
↓
Setze $x_{3} = - 1$ ein.
$f^{''} (- 1)$ $=$ $24 \cdot (- 1)^{2} - 8$
$=$ $16$
Da $f^{''} (- 1) > 0$ ist, befindet sich an der Stelle $x = - 1$ ein Tiefpunkt.
$\Rightarrow T P (- 1 | - 1)$
Wendepunkte
Bestimme die $x$ -Koordinaten der möglichen Wendepunkte als Nullstellen der zweiten Ableitung:
$f^{''} (x) = 24 x^{2} - 8$
Bestimme jetzt die Lösungen von $f^{''} (x) = 0$ :
$24 x^{2} - 8$ $=$ $0$ $: 24$
$x^{2} - \frac{1}{3}$ $=$ $0$ $+ \frac{1}{3}$
$x^{2}$ $=$ $\frac{1}{3}$
Du hast die Gleichung $x^{2} = \frac{1}{3}$ erhalten. Sie hat die beiden Lösungen $x_{1,2} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} .$
Es gibt also die Kandidaten für die Wendepunkte $x_{1} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ und $x_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Wenn an diesen Stellen die dritte Ableitung ungleich Null ist, ist die Bedingung für einen Wendepunkt erfüllt.
Berechne die dritte Ableitung und setze die möglichen Wendestellen ein:
$f^{'''} (x) = 48 x$
$f^{'''} (\pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ $=$ $\pm \frac{48}{\sqrt{3}} \neq 0$
Damit ist die Bedingung erfüllt.
Um die $y$ -Koordinaten zu berechnen, werden die $x$ -Werte in die Funktion $f$ eingesetzt:
$f (- \frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \cdot {(- \frac{1}{\sqrt{3}})}^{4} - 4 \cdot {(- \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} + 1 = \frac{2}{9} - \frac{4}{3} + 1 = - \frac{1}{9}$
$f (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \cdot {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{4} - 4 \cdot {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} + 1 = \frac{2}{9} - \frac{4}{3} + 1 = - \frac{1}{9}$
Damit hast du die Wendepunkte berechnet:
${WP}_{1} (- \sqrt{\frac{1}{3}} | - \frac{1}{9}) bzw. {WP}_{1} (- \frac{1}{\sqrt{3}} | - \frac{1}{9})$
${WP}_{2} (\sqrt{\frac{1}{3}} | - \frac{1}{9}) bzw. {WP}_{2} (\frac{1}{\sqrt{3}} | - \frac{1}{9})$
Grenzwertbetrachtung
$D_{f} = ℝ$
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten der Funktion für $x \to \pm \infty$ betrachtet werden.
gegen $+ \infty$ :
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
$\lim_{x \to \infty} \overset{\to \infty}{2} - 4 x^{2} + 1 = \infty$
gegen $- \infty$ :
$\lim_{x \to - \infty} \overset{\to \infty}{2} - 4 x^{2} + 1 = \infty$
Symmetrie
Durch Betrachtung des Funktionsterms
Die Exponenten zur Basis $x$ sind alle gerade. Daraus folgt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft.
Durch Berechnung mit dem Kriterium $f (- x) = f (x)$
$f (x)$ $=$ $2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$
$f (- x)$ $=$ $2 \cdot {(- x)}^{4} - 4 \cdot {(- x)}^{2} + 1$
$=$ $2 \cdot x^{4} - 4 \cdot x^{2} + 1$
$f (x)$ $=$ $f (- x)$
Da $f (x)$ gleich $f (- x)$ ist, ist der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur y-Achse.
Note
Wenn du als Erstes die Symmetrie nachweist, kannst du die Koordinaten des dritten Extremums aus denen des zweiten direkt ablesen.
Genauso kannst du den zweiten Wendepunkt aus dem ersten bestimmen und den Grenzwert bei $- \infty$ aus dem Grenzwert bei $\infty$ .
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
Hinweis: Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind in der Abbildung in aufsteigender Reihenfolge angegeben (im Gegensatz zur obigen Berechnung).
$f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $𝔻_{f} = ℝ$ .
Nullstellenbestimmung
Um die Nullstellen von $f (x)$ zu bestimmten, wird $f (x) = 0$ gesetzt.
$x^{3} - 2 x^{2} = 0$
Klammere $x^{2}$ aus und betrachte die Faktoren einzeln.
$x^{2} (x - 2) = 0$
$\Rightarrow {NS}_{1} (0 | 0), {NS}_{2} (2 | 0)$
Ableitungen
$f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$
Erste Ableitung
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x$
Zweite Ableitung
$f^{''} (x) = 6 x - 4$
Extrema
x-Koordinaten bestimmen
$f^{'} (x) = 0$
$3 x^{2} - 4 x = 0$
$x$ ausklammern und die Faktoren einzeln betrachten.
$x (3 x - 4) = 0$
$\Leftrightarrow x = 0$ oder $3 x - 4 = 0$
$\Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = \frac{4}{3}$
y-Koordinaten bestimmen
Setze die gefundenen $x$ -Werte in $f$ ein, um die $y$ -Koordinaten der Extrema zu erhalten.
$f (x_{1}) = f (0) = 0$
da $0$ eine Nullstelle ist.
$f (x_{2}) = f (\frac{4}{3}) = {(\frac{4}{3})}^{3} - 2 \cdot {(\frac{4}{3})}^{2} = - \frac{32}{27}$
Prüfung auf Hoch- oder Tiefpunkt
$f^{''} (x) = 6 x - 4$
Setze die gefundenen $x$ -Werte in $f^{''}$ ein, um zu bestimmen, ob es sich bei den Extrema um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
$f^{''} (x_{1}) = f^{''} (0) = - 4$
$f^{''} < 0 \Rightarrow HP (0 | 0)$
$f^{''} (x_{4}) = f^{''} (\frac{4}{3}) = 6 \cdot \frac{4}{3} - 4 = 4$
$f^{''} > 0 \Rightarrow TP (\frac{4}{3} | - \frac{32}{27})$
Wendepunkt
$f^{''} (x) = 6 x - 4$
Die zweite Ableitung wird gleich 0 gesetzt, um Wendepunkte zu bestimmen.
x-Koordinate des Wendepunkts
$f^{''} (x) = 0$
$6 x - 4 = 0$
$\Rightarrow x_{W} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
y-Koordinate des Wendepunkts
$f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$
Das gefundene $x_{W}$ wird in die Funktion $f$ eingesetzt, um die $y$ -Koordinate des Wendepunkts zu bestimmen.
$f (\frac{2}{3}) = {(\frac{2}{3})}^{3} - 2 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} = - \frac{16}{27}$
$WP (\frac{2}{3} | - \frac{16}{27})$
Grenzwertbetrachtung
$𝔻_{f} = ℝ$ . Da die Funktion keine Definitionslücken aufweist, muss nur das Grenzwertverhalten für $x \to \pm \infty$ untersucht werden.
$\lim_{x \to \infty} f (x) = \lim_{x \to \infty} \overset{\to \infty}{\overset{⏞}{x^{3}}} - 2 \cdot \overset{\to \infty}{\overset{⏞}{x^{2}}} = \infty$
$\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} \overset{\to - \infty}{\overset{︷}{x^{3}}} - 2 \cdot \overset{\to + \infty}{\overset{︷}{x^{2}}} = - \infty$
Symmetrie
$f (x) = x^{3} - 2 \cdot x^{2}$
Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade. Daraus folgt, dass der Graph weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch verläuft.
Die Symmetrie kann auch mithilfe des Funktionsterms bestimmt werden:
$f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$
$f (- x) = - x^{3} - 2 \cdot x^{2}$
Da $f (- x)$ weder gleich $f (x)$ noch $- f (x)$ ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2$

For this task you need the following basic knowledge: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Da die Variable der Funktion weder im Nenner eines Bruchs, noch in einem Logarithmusterm oder in einer Diskriminante vorkommt, können in der Funktion keine Definitionslücken vorkommen. Also liegt der Definitionsbereich von $f (x)$ in ganz $ℝ$ .
Nullstellenbestimmung
$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2$
Um aus dem Polynom vierten Grades ein Polynom zweiten Grades zu erzeugen, wird das Substitutionsverfahren angewendet. Das funktioniert in diesem speziellen Fall, da der Funktionsterm biquadratisch ist, wie im Beispiel des Artikels Substitution.
$z = x^{2}$
$f (x) = \frac{1}{2} z^{2} - \frac{3}{2} z + 2$
Die Nullstellen von einem Polynom zweiten Grades werden jetzt mit der Mitternachtsformel ermittelt.
$z_{1 / 2} = \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{16}{4}}}{1} = \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{7}{4}}}{1}$
Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.
Die Funktion $f (x)$ hat keine Nullstellen.
Ableitungen
$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2$
Erste Ableitung
$f^{'} (x) = 2 x^{3} - 3 x$
Zweite Ableitung
$f^{''} (x) = 6 x^{2} - 3$
Extrema bestimmen
$f^{'} (x) = 0$
Die erste Ableitung wird gleich $0$ gesetzt.
$2 x^{3} - 3 x = 0$
In dieser Gleichung kann $x$ ausgeklammert werden. $x (2 x^{2} - 3) = 0$ . Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt die erste Nullstelle.
$x_{1} = 0$
$2 x^{2} - 3 = 0$ liefert zwei weitere Lösungen:
$x_{2,3} = \pm \sqrt{1,5}$
$x_{2} = \sqrt{1,5} \approx 1,22$
$x_{3} = - \sqrt{1,5} \approx - 1,22$
1. Extremum $(x = 0)$
$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2$
$f (0) = 2$
$f^{''} (0) = 6 \cdot 0^{2} - 3 = - 3$
Da $f^{''} (0)$ kleiner $0$ , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Hochpunkt.
$HP = (0 | 2)$
2. Extremum $(x = \sqrt{1,5})$
$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2$
$f (\sqrt{1,5}) = \frac{7}{8}$
$f^{''} (\sqrt{1,5}) = \frac{1}{2} \cdot {\sqrt{1,5}}^{4} - \frac{3}{2} \cdot {\sqrt{1,5}}^{2} - 3$
Da $f^{''} (0)$ größer $0$ , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Tiefpunkt.
$TP = (\sqrt{1,5} | 0,875)$
3. Extremum $(x = - \sqrt{1,5})$
$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2$
$f (- \sqrt{1,5}) = \frac{7}{8}$
$f^{''} (- \sqrt{1,5}) = \frac{1}{2} \cdot (- {\sqrt{1,5}}^{4}) - \frac{3}{2} \cdot (- {\sqrt{1,5}}^{2}) - 3$
Da $f^{''} (0)$ größer $0$ , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Tiefpunkt.
$TP = (- \sqrt{1,5} | 0,875)$
Wendepunkt
Die Wendepunkte werden berechnet, indem die zweite Ableitung null gesetzt wird.
$f^{''} (x) = 6 x^{2} - 3$
$f^{''} (x) = 0$
$6 x^{2} - 3 = 0$
$\Rightarrow x^{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$x_{W_{1}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \approx 0,71$
$x_{W_{2}} = - \sqrt{\frac{1}{2}} \approx 0,71$
y-Koordinaten bestimmen
$f (x_{W_{1}}) = f (\sqrt{\frac{1}{2}})$
$f (\sqrt{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot {\sqrt{\frac{1}{2}}}^{4} - \frac{3}{2} \cdot {\sqrt{\frac{1}{2}}}^{2} + 2 = 1,375 = \frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8}$
$f (x_{W_{2}}) = f (- \sqrt{\frac{1}{2}})$
$f (- \sqrt{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot (- {\sqrt{\frac{1}{2}}}^{4}) - \frac{3}{2} \cdot (- {\sqrt{\frac{1}{2}}}^{2}) + 2 = 1,375 = \frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8}$
Ergebnis
${WP}_{1} = (\sqrt{\frac{1}{2}} | \frac{11}{8})$
${WP}_{2} = (- \sqrt{\frac{1}{2}} | \frac{11}{8})$
Grenzwertbetrachtung
$D_{f} = ℝ$ . Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Grenzwertverhalten der Funktion für $x \to \pm \infty$ betrachtet werden.
gegen $+ \infty$
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} \overset{\to \infty}{\overset{︷}{x^{4}}} - \frac{3}{2} \cdot \overset{\to \infty}{\overset{︷}{x^{2}}} + 2 = \infty$
gegen $- \infty$
$\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2} \overset{\to \infty}{\overset{︷}{x^{4}}} - \frac{3}{2} \cdot \overset{\to \infty}{\overset{︷}{x^{2}}} + 2 = \infty$
Symmetrie
Da alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch.
Das Kriterium von y-Achsensymmetrie lautet:
$f (x) = f (- x)$
Durch Ersetzen von $x$ im rechten Funktionsterm mit $- x$ wird überprüft, ob die Funktion eine y-Achsensymmetrie aufweist.
$\frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 \overset{?}{=} \frac{1}{2} {(- x)}^{4} - \frac{3}{2} {(- x)}^{2} + 2$
$\frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2$
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph

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$u_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = - 4$ und $ c = 1$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4}$
	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{8}}{4}$

$x^{2}$	$=$	$1 + \sqrt{0,5}$	$\sqrt{}$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{1 + \sqrt{0,5}}$
	$\approx$	$\pm 1,31$

$x^{2}$	$=$	$1 - \sqrt{0,5}$	$\sqrt{}$
$x_{3,4}$	$=$	$\pm \sqrt{1 - \sqrt{0,5}}$
	$\approx$	$\pm 0,54$

$f^{'} (x)$	$=$	$0$
$8 x^{3} - 8 x$	$=$	$0$
	↓	$x$ ausklammern
$x \cdot (8 x^{2} - 8)$	$=$	$0$

$f (x)$	$=$	$2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$
	↓	Setze $x_{1} = 0$ ein.
$f (0)$	$=$	$2 \cdot 0^{4} - 4 \cdot 0^{2} + 1$
	$=$	$1$

$f^{''} (x)$	$=$	$24 x^{2} - 8$
	↓	Setze $x_{1} = 0$ ein.
$f^{''} (0)$	$=$	$24 \cdot 0^{2} - 8$
	$=$	$- 8$

$f^{''} (x)$	$=$	$24 x^{2} - 8$
	↓	Setze $x_{2} = 1$ ein.
$f^{''} (1)$	$=$	$24 \cdot 1^{2} - 8$
	$=$	$16$

$f (- 1)$	$=$	$2 \cdot (- 1)^{4} - 4 \cdot (- 1)^{2} + 1$
	$=$	$- 1$

$f^{''} (x)$	$=$	$24 x^{2} - 8$
	↓	Setze $x_{3} = - 1$ ein.
$f^{''} (- 1)$	$=$	$24 \cdot (- 1)^{2} - 8$
	$=$	$16$

$24 x^{2} - 8$	$=$	$0$	$: 24$
$x^{2} - \frac{1}{3}$	$=$	$0$	$+ \frac{1}{3}$
$x^{2}$	$=$	$\frac{1}{3}$

$f (x)$	$=$	$2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$
$f (- x)$	$=$	$2 \cdot {(- x)}^{4} - 4 \cdot {(- x)}^{2} + 1$
	$=$	$2 \cdot x^{4} - 4 \cdot x^{2} + 1$
$f (x)$	$=$	$f (- x)$

Exercises: Polynomial functions

Definitionsbereich festlegen

Polynomdivision

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Ableitungen

Erste Ableitung

Zweite Ableitung

Extrema bestimmen

1. Extremum

2. Extremum

Wendepunkte bestimmen

Wendepunkt x=13

Grenzwertbetrachtung

und

Monotonieverhalten

Graph

Definitionsbereich bestimmen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

Extrema

1. Extremum

2. Extremum

3. Extremum

Wendepunkte

Bestimme die x-Koordinaten der möglichen Wendepunkte als Nullstellen der zweiten Ableitung:

Damit hast du die Wendepunkte berechnet:

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞:

gegen −∞:

Symmetrie

Monotonieverhalten

Graph

Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

Erste Ableitung

Zweite Ableitung

Extrema

x-Koordinaten bestimmen

y-Koordinaten bestimmen

Prüfung auf Hoch- oder Tiefpunkt

Wendepunkt

x-Koordinate des Wendepunkts

y-Koordinate des Wendepunkts

Grenzwertbetrachtung

Symmetrie

Die Symmetrie kann auch mithilfe des Funktionsterms bestimmt werden:

Monotonieverhalten

Graph

Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

Erste Ableitung

Zweite Ableitung

Extrema bestimmen

1. Extremum (x=0)

2. Extremum (x=1,5)

3. Extremum (x=−1,5)

Wendepunkt

y-Koordinaten bestimmen

Ergebnis

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞

gegen −∞

Symmetrie

Das Kriterium von y-Achsensymmetrie lautet:

Monotonieverhalten

Graph

Wendepunkt $x = \frac{1}{3}$

Bestimme die $x$ -Koordinaten der möglichen Wendepunkte als Nullstellen der zweiten Ableitung:

gegen $+ \infty$ :

gegen $- \infty$ :

1. Extremum $(x = 0)$

2. Extremum $(x = \sqrt{1,5})$

3. Extremum $(x = - \sqrt{1,5})$

gegen $+ \infty$

gegen $- \infty$