Exercises: Polynomial functions

Bestimme die Nullstellen:

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $x^{4} - 3 x^{2} + 2$
↓
f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
$x^{4} - 3 x^{2} + 2$ $=$ $0$
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.
$u$ $=$ $x^{2}$
$f (u)$ $=$ $u^{2} - 3 u + 2 = 0$
↓
Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$ $=$ $\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$
↓
Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
$=$ $\frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$
↓
Wurzel ziehen.
$=$ $\frac{3 \pm 1}{2}$
$u_{1} : \frac{4}{2} = 2$
Fall: +
$u_{2} : \frac{2}{2} = 1$
Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$x_{1,2}^{2}$ $=$ $2$
↓
Wurzel ziehen
$x_{1,2}$ $=$ $\pm \sqrt{2}$
$x_{3,4}^{2}$ $=$ $1$
↓
Wurzel ziehen
$x_{3,4}$ $=$ $\pm 1$
Die Nullstellen der Funktion lauten $x_{1} = \sqrt{2}, x_{2} = - \sqrt{2}, x_{3} = 1, x_{4} = - 1$
$f (x) = x^{4} - \frac{17}{4} x^{2} + 1$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.
$u$ $=$ $x^{2}$
$f (u)$ $=$ $u^{2} - \frac{17}{4} u + 1$
↓
Mitternachtsformal anwenden
$u_{1 / 2}$ $=$ $\frac{\frac{17}{4} \pm \sqrt{(- \frac{17}{4})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2}$
↓
Unter der Wurzel ausmultiplizieren
$=$ $\frac{\frac{17}{4} \pm \sqrt{14,0625}}{2}$
↓
Wurzel ziehen
$=$ $\frac{\frac{17}{4} \pm \frac{15}{4}}{2}$
$u_{1}$ $=$ $4$
↓
Fall: +
$u_{2}$ $=$ $\frac{1}{4}$
↓
Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$x_{1,2}^{2}$ $=$ $4$
↓
Wurzel ziehen
$x_{1,2}$ $=$ $\pm 2$
$x_{3,4}^{2}$ $=$ $\frac{1}{4}$
↓
Wurzel ziehen
$x_{3,4}$ $=$ $\pm \frac{1}{2}$
Die Nullstellen der Funktion liegen bei $x_{1} = 2, x_{2} = - 2, x_{3} = \frac{1}{2}, x_{4} = - \frac{1}{2}$ .
$f (x) = (x^{2} - \frac{3}{2})^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $(x^{2} - \frac{3}{2})^{2}$
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.
$u$ $=$ $x^{2}$
$f (u)$ $=$ $(u - \frac{3}{2})^{2} = (u - \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})$
↓
Die Nullstellen können abgelesen werden
$u$ $=$ $\frac{3}{2}$
↓
Doppelte Nullstelle
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$x_{1,2}^{2}$ $=$ $\frac{3}{2}$
↓
Wuzel ziehen
$x_{1}$ $=$ $\sqrt{\frac{3}{2}}$
$x_{2}$ $=$ $- \sqrt{\frac{3}{2}}$
↓
Zwei doppelte Nullstellen
Die Funktion hat zwei doppelte Nullstellen und zwar bei $x_{1} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ und $x_{2} = - \sqrt{\frac{3}{2}}$ .
$f (x) = \frac{1}{2} x^{6} - 2 x^{3} - 2$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $\frac{1}{2} x^{6} - 2 x^{3} - 2$
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.
$u$ $=$ $x^{3}$
$f (u)$ $=$ $\frac{1}{2} u^{2} - 2 u - 2$
↓
Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$ $=$ $\frac{2 \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (- 2)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$
$=$ $\frac{2 \pm \sqrt{8}}{1} = 2 \pm \sqrt{8}$
$u_{1}$ $=$ $2 + \sqrt{8} \approx 4,83$
↓
Fall: +
$u_{2}$ $=$ $2 - \sqrt{8} \approx - 0,83$
↓
Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$x_{1}^{3}$ $\approx$ $4,83$
↓
dritte Wurzel ziehen
$x_{1}$ $\approx$ $\sqrt[3]{4,83} \approx 1,69$
$x_{2}^{3}$ $\approx$ $- 0,83$
↓
dritte Wurzel ziehen
$x_{2}$ $\approx$ $\sqrt[3]{- 0,83} \approx - 0,94$
Die Funktion hat 2 Nullstellen bei $x_{1} \approx \sqrt[3]{4,83} \approx 1,69$ und bei $x_{2} \approx \sqrt[3]{- 0,83} \approx - 0,94$ .

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$f (x)$	$=$	$x^{4} - 3 x^{2} + 2$
	↓	f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
$x^{4} - 3 x^{2} + 2$	$=$	$0$

$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$u^{2} - 3 u + 2 = 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{3 \pm 1}{2}$

$x_{1,2}^{2}$	$=$	$2$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{2}$

$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$u^{2} - \frac{17}{4} u + 1$
	↓	Mitternachtsformal anwenden
$u_{1 / 2}$	$=$	$\frac{\frac{17}{4} \pm \sqrt{(- \frac{17}{4})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{\frac{17}{4} \pm \sqrt{14,0625}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen
	$=$	$\frac{\frac{17}{4} \pm \frac{15}{4}}{2}$

$x_{3,4}^{2}$	$=$	$\frac{1}{4}$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{3,4}$	$=$	$\pm \frac{1}{2}$

$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$(u - \frac{3}{2})^{2} = (u - \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})$
	↓	Die Nullstellen können abgelesen werden
$u$	$=$	$\frac{3}{2}$
	↓	Doppelte Nullstelle

$x_{1,2}^{2}$	$=$	$\frac{3}{2}$
	↓	Wuzel ziehen
$x_{1}$	$=$	$\sqrt{\frac{3}{2}}$
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{\frac{3}{2}}$
	↓	Zwei doppelte Nullstellen

$u$	$=$	$x^{3}$
$f (u)$	$=$	$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u - 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{2 \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (- 2)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$
	$=$	$\frac{2 \pm \sqrt{8}}{1} = 2 \pm \sqrt{8}$

$x_{1}^{3}$	$\approx$	$4,83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$x_{1}$	$\approx$	$\sqrt[3]{4,83} \approx 1,69$

$x_{2}^{3}$	$\approx$	$- 0,83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$x_{2}$	$\approx$	$\sqrt[3]{- 0,83} \approx - 0,94$

$u_{1}$	$=$	$4$
	↓	Fall: +

$u_{1}$	$=$	$2 + \sqrt{8} \approx 4,83$
	↓	Fall: +

Exercises: Polynomial functions

Substitution

Resubstitution

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Resubstitution

Substitution

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