Exercises: Polynomial functions

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$0$ $=$ $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$
↓
Klammere $x$ aus.
$0$ $=$ $x (x^{2} + 3 x - 4)$
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
$x_{1} = 0$
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
$(x^{2} + 3 x - 4) = 0$
Wende nun die Mitternachtsformel an, um das Ergebnis zu erhalten:
$x_{2,3} = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$
↓
Fasse unter der Wurzel zusammen.
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$
↓
Ziehe die Wurzel
$=$ $\frac{- 3 \pm 5}{2}$
Du erhältst also die beiden Nullstellen:
$x_{2} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$
und:
$x_{3} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4$
Die Funktion hat also insgesamt 3 Nullstellen und zwar bei $x_{1} = 0, x_{2} = 1$ und $x_{3} = - 4$ .
$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$
↓
Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus und setze $f (x)$ = 0
$0$ $=$ $x^{2} \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
$x_{1} = 0$
Das ist eine doppelte Nullstelle, da $x^{2}$ in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
$(x^{2} + 2 x + 1) = 0$
Wenn du die 1. binomische Formel anwendest, erhältst du:
${(x + 1)}^{2} = 0$
$x_{2} = - 1$ ist also auch eine doppelte Nullstelle.
Die Funktion hat also 2 doppelte Nullstellen und zwar bei $x_{1} = 0$ und $x_{2} = - 1$ .
$f (x) = (x^{2} - 25) \cdot (\frac{1}{2} x + 4)$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = (x^{2} - 25) \cdot (\frac{1}{2} x + 4)$
Setze die Funktion gleich 0:
$0 = (x^{2} - 25) \cdot (\frac{1}{2} x + 4)$
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, setze nun die erste Klammer gleich 0:
$0$ $=$ $(x^{2} - 25)$
↓
Benutze die 3. Binomische Formel
$0$ $=$ $(x - 5) \cdot (x + 5)$
$\Rightarrow x_{1,2} = \pm 5$
Setze als nächstes die zweite Klammer $0$ .
$0$ $=$ $\frac{1}{2} x + 4$ $- 4$
$- 4$ $=$ $\frac{1}{2} x$ $\cdot 2$
$- 8$ $=$ $x$
$\Rightarrow x_{3} = - 8$
Die Funktion hat also 3 Nullstellen und zwar bei $x_{1} = 5, x_{2} = - 5$ und $x_{3} = - 8$ .
$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 6 x + 9$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$0$ $=$ $x^{2} - 6 x + 9$
↓
Wende die 2. Binomische Formel an.
$0$ $=$ ${(x - 3)}^{2}$
$0$ $=$ $(x - 3) \cdot (x - 3)$
Die Funktion hat also eine doppelte Nullstelle bei $x = 3$ .
$f (x) = x^{6} - x^{4}$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $x^{6} - x^{4}$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$0$ $=$ $x^{6} - x^{4}$
↓
Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus.
$0$ $=$ $x^{4} \cdot (x^{2} - 1)$
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
$x_{1} = 0$
Das ist eine vierfache Nullstelle, da $x^{4}$ in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
$0$ $=$ $(x^{2} - 1)$
↓
Verwende die 3. Binomische Formel.
$0$ $=$ $(x - 1) \cdot (x + 1)$
$\Rightarrow x_{2,3} = \pm 1$
Die Funktion hat also eine vierfache Nullstelle bei $x_{1} = 0$ und jeweils eine einfache Nullstelle bei $x_{2} = 1$ und $x_{3} = - 1$ .
$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$
Diese Funktion ist ein Polynom 4. Grades, bei dem du $x$ nicht mehr ausklammern kannst, das macht es schwer die Nullstellen zu bestimmen. Hier verwendest du am besten eine Substitution:
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.
$u = x^{2}$
$f (x)$ $=$ $u^{2} - 6 u + 5$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$0$ $=$ $u^{2} - 6 u + 5$
Hier kannst du jetzt die Mitternachtsformel anwenden:
$u_{1,2}$ $=$ $\frac{6 \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$
↓
Fasse unter der Wurzel zusammen.
$=$ $\frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$
$=$ $\frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$
$=$ $\frac{6 \pm 4}{2}$
Du erhältst also die beiden Nullstellen:
$u_{1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$ und:
$u_{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
$x_{1,2}^{2}$ $=$ $u_{1}$
$x_{1,2}^{2}$ $=$ $5$ $\sqrt{}$
$x_{1,2}$ $=$ $\pm \sqrt{5}$
Und noch für $u_{2}$ :
$x_{3,4}^{2}$ $=$ $u_{2}$
$x_{3,4}^{2}$ $=$ $1$ $\sqrt{}$
$x_{3,4}$ $=$ $\pm 1$
Die Funktion hat also 4 Nullstellen und zwar bei $x_{1} = \sqrt{5}, x_{2} = - \sqrt{5}, x_{3} = 1$ und $x_{4} = - 1$ .
$f (x) = (2 x - 4) (4 x^{2} - \frac{1}{3} x + 2) - 4 x + 8$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = (2 x - 4) (4 x^{2} - \frac{1}{3} x + 2) - 4 x + 8$
Ersetze den "schlimmen Teil"
Den Term $(4 x^{2} - \frac{1}{3} x + 2)$ bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von $f$ :
$f (x) = (2 x - 4) \cdot$ schlimmer Teil $- 4 x + 8$
Was haben die Terme $(2 x - 4)$ und $- 4 x + 8$ gemeinsam?
$- 4 x + 8 = (- 2) \cdot (2 x - 4)$
Setze dies in die Vorschrift von $f$ ein
$f (x) = (2 x - 4) \cdot$ schlimmer Teil $- 2 \cdot (2 x - 4)$
Klammere $(2 x - 4)$ aus
$f (x) = (2 x - 4) \cdot$ $($ schlimmer Teil $- 2)$
Setze den "schlimmen Teil" ein
$f (x) = (2 x - 4) \cdot ((4 x^{2} - \frac{1}{3} x + 2) - 2)$
Löse innere Klammer auf
$f (x) = (2 x - 4) \cdot (4 x^{2} - \frac{1}{3} x + 2 - 2)$
$- 2$ und $+ 2$ heben sich gegenseitig auf
$f (x) = (2 x - 4) \cdot (4 x^{2} - \frac{1}{3} x)$
$f$ ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen. Berechne die Nullstellen der Faktoren.
Nullstellen des linken Faktors
Setze $(2 x - 4)$ gleich Null
$2 x - 4 = 0$
Bringe die $4$ auf die andere Seite
$2 x - 4 = 0 | + 4$
Teile durch $2$
$2 x = 4 | : 2$
Erhalte die Nullstelle
$x_{1} = 2$
Nullstellen des rechten Faktors
Setze $(4 x^{2} - \frac{1}{3} x)$ gleich null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht, können wir die kleinste Potenz von $x$ ausklammern. Wir haben dann: $x \cdot (4 x - \frac{1}{3})$
Dort lesen wir die Nullstelle $x_{2} = 0$ ab. Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von $(4 x - \frac{1}{3})$ . Diese berechnen wir, indem wir $4 x - \frac{1}{3}$ gleich null setzen und diese Gleichung nach $x$ auflösen.
$4 x - \frac{1}{3} = 0$
Bringe die $\frac{1}{3}$ auf die andere Seite
$4 x - \frac{1}{3} = 0 | + \frac{1}{3}$
Teile durch 4
$4 x = \frac{1}{3} | : 4$
Erhalte die Nullstelle
$x_{3} = \frac{1}{12}$
Und die Nullstellen von $f$ lauten…
Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von $f$ . Sie lauten $x_{1} = 2, x_{2} = 0$ und $x_{3} = \frac{1}{12}$ .
Tipp: Welcher Teil bereitet dir Probleme? Kannst du ihn "ignorieren"?
Wenn du völlig auf dem Schlauch stehst, gehe nochmal zurück auf die Seite 2. Ausklammern von Faktoren(2|2).
$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.
$f (1) = 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 6 = - 8$
$f (1) \neq 0$
Setze als nächstes z.B. $- 1$ in $f (x)$ ein.
$f (- 1) = (- 1)^{3} + 2 \cdot (- 1)^{2} - 5 \cdot (- 1) - 6 = 0$
Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $f (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x + 1)$ durch.
$\begin{matrix} (x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6) : (x + 1) = x^{2} + x - 6 \\ - (x^{3} + x^{2}) \\ x^{2} - 5 x \\ - (x^{2} + x) \\ - 6 x - 6 \\ - (- 6 x - 6) \\ 0 \end{matrix}$
Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.
$x^{2} + x - 6 = 0$
Wende hier die Mitternachtsformel an.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$
↓
Fasse unter der Wurzel zusammen
$=$ $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$
$=$ $\frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}$
Du erhältst die beiden Nullstellen:
$x_{2} = \frac{4}{2} = 2$ und:
$x_{3} = \frac{- 6}{2} = - 3$
Die Funktion $f (x)$ hat also drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 3$ .

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$f (x)$	$=$	$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$0$	$=$	$x (x^{2} + 3 x - 4)$

$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel
	$=$	$\frac{- 3 \pm 5}{2}$

$f (x)$	$=$	$x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus und setze $f (x)$ = 0
$0$	$=$	$x^{2} \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

$0$	$=$	$(x^{2} - 25)$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel
$0$	$=$	$(x - 5) \cdot (x + 5)$

$0$	$=$	$\frac{1}{2} x + 4$	$- 4$
$- 4$	$=$	$\frac{1}{2} x$	$\cdot 2$
$- 8$	$=$	$x$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 6 x + 9$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$x^{2} - 6 x + 9$
	↓	Wende die 2. Binomische Formel an.
$0$	$=$	${(x - 3)}^{2}$
$0$	$=$	$(x - 3) \cdot (x - 3)$

$f (x)$	$=$	$x^{6} - x^{4}$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$x^{6} - x^{4}$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus.
$0$	$=$	$x^{4} \cdot (x^{2} - 1)$

$0$	$=$	$(x^{2} - 1)$
	↓	Verwende die 3. Binomische Formel.
$0$	$=$	$(x - 1) \cdot (x + 1)$

$f (x)$	$=$	$u^{2} - 6 u + 5$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$u^{2} - 6 u + 5$

$u_{1,2}$	$=$	$\frac{6 \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$
	$=$	$\frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\frac{6 \pm 4}{2}$

$x_{1,2}^{2}$	$=$	$u_{1}$
$x_{1,2}^{2}$	$=$	$5$	$\sqrt{}$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{5}$

$x_{3,4}^{2}$	$=$	$u_{2}$
$x_{3,4}^{2}$	$=$	$1$	$\sqrt{}$
$x_{3,4}$	$=$	$\pm 1$

$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen
	$=$	$\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}$

Exercises: Polynomial functions

Resubstitution

Ersetze den "schlimmen Teil"

Nullstellen des linken Faktors

Nullstellen des rechten Faktors

Und die Nullstellen von f lauten…

Und die Nullstellen von $f$ lauten…