Exercises: Polynomial functions

Es ist die Funktion $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ gegeben.

Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von $G_{f}$ . Zeichne $G_{f}$ .

Nullstellenbestimmung
Bestimme zuerst die Nullstellen von $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ , indem du die Funktion gleich 0 setzt:
$0 = x^{3} - 3 x - 2$
Die erste Nullstelle muss erraten werden. Durch ausprobieren ermittelt man beispielsweise $x_{1} = - 1$
Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.
$\begin{array}{l} (x^{3} - 3 x - 2) : (x + 1) = x^{2} - x - 2 \\ - (x^{3} + x^{2}) \\ - x^{2} - 3 x \\ - (- x^{2} - x) \\ - 2 x - 2 \\ - (- 2 x - 2) \\ 0 \end{array}$
Die berechnete Funktion wird gleich 0 gesetzt um die beiden anderen Nullstellen zu ermitteln.
$0$ $=$ $x^{2} - x - 2$
↓
Löse beispielsweise mit der Mitternachtsformel.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$
$=$ $\frac{1 \pm \sqrt{1 - (- 8)}}{2}$
$=$ $\frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$
$=$ $\frac{1 \pm 3}{2}$
$x_{2} = \frac{4}{2} = 2; x_{3} = \frac{- 2}{2} = - 1$
Die Funktion hat demnach eine einfache Nullstelle bei $x_{2} = 2$ und eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,3} = - 1$ .
Ableiten
Leite die Funktion zweimal ab.
$f (x) = x^{3} - 3 x - 2$
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$
$f^{''} (x) = 6 x$
Extrema bestimmen
Setze die erste Ableitung gleich $0$ .
$0$ $=$ $f^{'} (x)$
$0$ $=$ $3 x^{2} - 3$ $+ 3$
$3$ $=$ $3 x^{2}$ $: 3$
$1$ $=$ $x^{2}$
$x_{1} = 1; x_{2} = - 1$
Extremum bei $x_{1} = 1$ :
Setze $x_{1}$ in $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ein.
$f (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1 - 2 = - 4$
Setze $x_{1}$ in $f^{''} (x) = 6 x$ ein:
$f^{''} (x) = 6 \cdot 1 = 6$
Da $f^{''} (1) > 0$ hat $f (x)$ in $T P (1 | - 4)$ einen Tiefpunkt.
Extremum bei $x_{2} = - 1$ :
Setze $x_{2}$ in $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ein.
$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot (- 1) - 2 = - 1 + 3 - 2 = 0$
Setze $x_{2}$ in $f^{''} (x) = 6 x$ ein:
$f^{''} (x) = 6 \cdot (- 1) = - 6$
Da $f^{''} (- 1) < 0$ hat $f (x)$ in $H P (- 1 | 0)$ einen Hochpunkt.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme nun noch die Wendepunkte. Setze dazu $f^{''} (x) = 6 x$ gleich 0.
$f^{''} (x)$ $=$ $0$
$6 x$ $=$ $0$ $: 6$
$x$ $=$ $0$
Setze $x = 0$ in $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ein:
$f (0) = 0^{3} - 3 \cdot 0 - 2 = - 2$
Da $f^{'''} (x) = 6 \neq 0$ ist, gibt es einen Wendepunkt:
Der Wendepunkt lautet $W P (0 | - 2)$ .
Graph der Funktion
Berechne die Gleichungen der Tangente $t$ und Normale $n$ im Wendepunkt.

Tangente aufstellen
Stelle die Tangente im Wendepunkt $W P (0 | - 2)$ auf.
Setze den x-Wert des Wendepunkts, also $0$ , in $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ ein:
$f^{'} (0) = 3 \cdot 0^{2} - 3 = - 3$
$- 3$ ist die Steigung $m$ der Tangente.Setz das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts in die allgemeinen Geradengleichung $y = m x + t$ ein, um $t$ zu bestimmen.
$y$ $=$ $m x + t$
↓
$m = - 3$ einsetzen
$y$ $=$ $- 3 x + t$
↓
Setze $W P (0 | - 2)$ in die Gleichung ein. $\Rightarrow x = 0$ und $y = - 2$ .
$- 2$ $=$ $- 3 \cdot 0 + t$
$- 2$ $=$ $t$
Mit $t$ und $m$ kannst du die Gleichung der Tangente aufstellen.
Die Gleichung der Tangente lautet t: $y = - 3 x - 2$
Normale aufstellen
Stelle die Normalengleichung $n$ auf. Für die Steigung der Normalen $m_{n}$ und die Steigung der Tangenten $m_{t} = - 3$ gilt:
$m_{t} \cdot m_{n}$ $=$ $- 1$
↓
$m_{t} = - 3$
$- 3 \cdot m_{n}$ $=$ $- 1$ $: (- 3)$
$m_{n}$ $=$ $\frac{1}{3}$
Das bestimmte $m_{n}$ und die Koordinaten des Wendepunkts kannst du in die allgemeinen Geradengleichung einsetzen, um $t$ zu bestimmen.
$y$ $=$ $m_{n} \cdot x + t$
↓
$m_{n} = \frac{1}{3}$ einsetzen.
$y$ $=$ $\frac{1}{3} x + t$
↓
Setze $W P (0 | - 2)$ in die Gleichung ein. $\Rightarrow x = 0$ und $y = - 2$ .
$- 2$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot 0 + t$
$- 2$ $=$ $t$
Mit $t$ und $m_{n}$ kannst du die Gleichung der Tangente aufstellen.
Die Gleichung der Normale lautet n: $y = \frac{1}{3} x - 2$
Graph der Funktion mit Normale und Tangente
Berechne den Inhalt der beiden Flächenstücke, die von $G_{f}$ und der Normalen n begrenzt sind.

Zur Bestimmung des Integrals werden die Schnittpunkte der beiden Funktionen benötigt.
Schnittstelle der Funktionen berechnen
Setze beide Funktionen gleich.
$y = \frac{1}{3} x - 2$
$f (x) = x^{3} - 3 x - 2$
$y$ $=$ $f (x)$
$\frac{1}{3} x - 2$ $=$ $x^{3} - 3 x - 2$ $- \frac{1}{3} x + 2$
$0$ $=$ $x^{3} - \frac{10}{3} x$
↓
$x$ ausklammern.
$0$ $=$ $x \cdot (x^{2} - \frac{10}{3})$
Die erste Nullstelle ist $x_{1} = 0$ . Um die weiteren Nullstellen zu bestimmen, muss die Klammer $(x^{2} - \frac{10}{3}) = 0$ berechnet werden.
$0$ $=$ $x^{2} - \frac{10}{3}$ $+ \frac{10}{3}$
$\frac{10}{3}$ $=$ $x^{2}$
$x_{2,3}$ $=$ $\pm \sqrt{\frac{10}{3}}$
Integral aufstellen
Es gibt zwei Flächen die durch die Schnitte entstehen.
$A = | \int_{- \sqrt{\frac{10}{3}}}^{0} ((x^{3} - 3 x - 2) - (\frac{1}{3} x - 2)) dx | + | \int_{0}^{\sqrt{\frac{10}{3}}} ((x^{3} - 3 x - 2) - (\frac{1}{3} x - 2)) dx |$
Vereinfache zuerst den Integranden:
$(x^{3} - 3 x - 2) - (\frac{1}{3} x - 2)$ $=$ $x^{3} - 3 x - 2 - \frac{1}{3} x + 2$
$=$ $x^{3} - \frac{10}{3} x$
Integriere $\int_{- \sqrt{\frac{10}{3}}}^{0} x^{3} - \frac{10}{3} x d x$ und dann $\int_{0}^{\sqrt{\frac{10}{3}}} x^{3} - \frac{10}{3} x d x$
$\int_{- \sqrt{\frac{10}{3}}}^{0} x^{3} - \frac{10}{3} x d x$ $=$ ${[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{10}{3 \cdot 2} x^{2}]}_{- \sqrt{\frac{10}{3}}}^{0}$
$=$ $[\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{5}{3} \cdot 0^{2}] - [\frac{1}{4} {(- \sqrt{\frac{10}{3}})}^{4} - \frac{5}{3} {(- \sqrt{\frac{10}{3}})}^{2}]$
$=$ $- (\frac{1}{4} \cdot {(\frac{10}{3})}^{2} - \frac{5}{3} \cdot \frac{10}{3})$
$=$ $- (\frac{25}{3} - \frac{50}{9})$
$=$ $- \frac{25}{9}$
$\int_{0}^{\sqrt{\frac{10}{3}}} x^{3} - \frac{10}{3} x d x$ $=$ ${[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{10}{3 \cdot 2} x^{2}]}_{0}^{\sqrt{\frac{10}{3}}}$
$=$ $[\frac{1}{4} {\sqrt{\frac{10}{3}}}^{4} - \frac{5}{3} {\sqrt{\frac{10}{3}}}^{2}] - [\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{5}{3} \cdot 0^{2}]$
$=$ $(\frac{1}{4} \cdot {(\frac{10}{3})}^{2} - \frac{5}{3} \cdot \frac{10}{3})$
$=$ $\frac{25}{3} - \frac{50}{9}$
$=$ $\frac{25}{9}$
$\begin{array}{l} A = | \int_{- \sqrt{\frac{10}{3}}}^{0} ((x^{3} - 3 x - 2) - (\frac{1}{3} x - 2)) dx | + | \int_{0}^{\sqrt{\frac{10}{3}}} ((x^{3} - 3 x - 2) - (\frac{1}{3} x - 2)) dx | \\ = | - \frac{25}{9} | + | \frac{25}{9} | \\ = \frac{25}{9} + \frac{25}{9} \\ = \frac{50}{9} \end{array}$
Die gesuchte Fläche hat den Flächeninhalt $ \frac{50}{9} \approx 5,56950 \approx 5,56$ Flächeneinheiten.

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$0$	$=$	$x^{2} - x - 2$
	↓	Löse beispielsweise mit der Mitternachtsformel.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{1 - (- 8)}}{2}$
	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$
	$=$	$\frac{1 \pm 3}{2}$

$0$	$=$	$f^{'} (x)$
$0$	$=$	$3 x^{2} - 3$	$+ 3$
$3$	$=$	$3 x^{2}$	$: 3$
$1$	$=$	$x^{2}$

$y$	$=$	$m x + t$
	↓	$m = - 3$ einsetzen
$y$	$=$	$- 3 x + t$
	↓	Setze $W P (0 \| - 2)$ in die Gleichung ein. $\Rightarrow x = 0$ und $y = - 2$ .
$- 2$	$=$	$- 3 \cdot 0 + t$
$- 2$	$=$	$t$

$m_{t} \cdot m_{n}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{t} = - 3$
$- 3 \cdot m_{n}$	$=$	$- 1$	$: (- 3)$
$m_{n}$	$=$	$\frac{1}{3}$

$y$	$=$	$m_{n} \cdot x + t$
	↓	$m_{n} = \frac{1}{3}$ einsetzen.
$y$	$=$	$\frac{1}{3} x + t$
	↓	Setze $W P (0 \| - 2)$ in die Gleichung ein. $\Rightarrow x = 0$ und $y = - 2$ .
$- 2$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 0 + t$
$- 2$	$=$	$t$

$y$	$=$	$f (x)$
$\frac{1}{3} x - 2$	$=$	$x^{3} - 3 x - 2$	$- \frac{1}{3} x + 2$
$0$	$=$	$x^{3} - \frac{10}{3} x$
	↓	$x$ ausklammern.
$0$	$=$	$x \cdot (x^{2} - \frac{10}{3})$

$0$	$=$	$x^{2} - \frac{10}{3}$	$+ \frac{10}{3}$
$\frac{10}{3}$	$=$	$x^{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{10}{3}}$

$(x^{3} - 3 x - 2) - (\frac{1}{3} x - 2)$	$=$	$x^{3} - 3 x - 2 - \frac{1}{3} x + 2$
	$=$	$x^{3} - \frac{10}{3} x$

$\int_{- \sqrt{\frac{10}{3}}}^{0} x^{3} - \frac{10}{3} x d x$	$=$	${[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{10}{3 \cdot 2} x^{2}]}_{- \sqrt{\frac{10}{3}}}^{0}$
	$=$	$[\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{5}{3} \cdot 0^{2}] - [\frac{1}{4} {(- \sqrt{\frac{10}{3}})}^{4} - \frac{5}{3} {(- \sqrt{\frac{10}{3}})}^{2}]$
	$=$	$- (\frac{1}{4} \cdot {(\frac{10}{3})}^{2} - \frac{5}{3} \cdot \frac{10}{3})$
	$=$	$- (\frac{25}{3} - \frac{50}{9})$
	$=$	$- \frac{25}{9}$

$\int_{0}^{\sqrt{\frac{10}{3}}} x^{3} - \frac{10}{3} x d x$	$=$	${[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{10}{3 \cdot 2} x^{2}]}_{0}^{\sqrt{\frac{10}{3}}}$
	$=$	$[\frac{1}{4} {\sqrt{\frac{10}{3}}}^{4} - \frac{5}{3} {\sqrt{\frac{10}{3}}}^{2}] - [\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{5}{3} \cdot 0^{2}]$
	$=$	$(\frac{1}{4} \cdot {(\frac{10}{3})}^{2} - \frac{5}{3} \cdot \frac{10}{3})$
	$=$	$\frac{25}{3} - \frac{50}{9}$
	$=$	$\frac{25}{9}$

Exercises: Polynomial functions

Nullstellenbestimmung

Ableiten

Extrema bestimmen

Extremum bei x1=1:

Extremum bei x2=−1:

Wendepunkte bestimmen

Graph der Funktion

Tangente aufstellen

Normale aufstellen

Graph der Funktion mit Normale und Tangente

Schnittstelle der Funktionen berechnen

Integral aufstellen

Extremum bei $x_{1} = 1$ :

Extremum bei $x_{2} = - 1$ :