Exercises: Exponential functions

Bestimme - falls möglich - die Basis der Funktion $f : y = a^{x}; D_{f} = ℝ$ so, dass ein gegebener Punkt P auf dem Graphen von $f$ liegt.

$P (2 | 2) \in f : y = a^{x}$

For this task you need the following basic knowledge: Exponentialfunktion
$P (2 | 2) \in f : y = a^{x}$
Koordinaten von P in Funktionsgleichung einsetzen.
$2 = a^{2} | \sqrt{}$
$| a | = \sqrt{2} \Leftrightarrow a = \pm \sqrt{2}$
Der negative Wert $- \sqrt{2}$ kommt nicht in Frage.
$P (2 | 2) \in f : y = {(\sqrt{2})}^{x}$
$P (3 | \frac{1}{8}) \in f : y = a^{x}$

For this task you need the following basic knowledge: Exponentialfunktion
$P (3 | \frac{1}{8}) \in f : y = a^{x}$
Koordinaten von P einsetzen
$\frac{1}{8} = a^{3}$
Beachte, dass $8 = 2^{3}$
${(\frac{1}{2})}^{3} = a^{3}$
Gleiche Exponenten! Also: Gleiche Basen!
$a = \frac{1}{2}$
$P (3 | \frac{1}{8}) \in f : y = {(\frac{1}{2})}^{x}$
$P (0 | 2) \in f : y = a^{x}$

For this task you need the following basic knowledge: Exponentialfunktion
Keine Funktion mit dem Funktionsterm $f (x) = a^{x}$ hat mit der y-Achse den Punkt $P (0 | 2)$ gemeinsam, sondern jede schneidet diese im Punkt (0|1).
Auch der rechnerische Ansatz $2 = a^{0}$ liefert einen Widerspruch. Also ist die Teilaufgabe nicht erfüllbar.
Tipp: Die Lösung verlangt keine Rechnung!
$P (- 3 | 0,001) \in f : y = a^{x}$

For this task you need the following basic knowledge: Exponentialfunktion
$P (- 3 | 0,001) \in y = a^{x}$
Koordinaten in Funktionsgleichung einsetzen.
$0,001 = a^{- 3}$
Dezimalbruch als Zehnerpotenz schreiben.
$10^{- 3} = a^{- 3}$
Gleiche Exponenten! Also: gleiche Basen!
$a = 10$
$P (- 3 | 0,001) \in y = 10^{x}$
$P (\frac{1}{2} | \frac{1}{4}) \in f : y = a^{x}$

For this task you need the following basic knowledge: Exponentialfunktion
$P (\frac{1}{2} | \frac{1}{4}) \in f : y = a^{x}$
Koordinaten in Funktionsgleichung einsetzen.
$\frac{1}{4} = a^{\frac{1}{2}}$
Gleichung quadrieren.
$a = \frac{1}{16}$
$P (\frac{1}{2} | \frac{1}{4}) \in f : y = {(\frac{1}{16})}^{x}$
$P (- 2 | - 1) \in f : y = a^{x}$

For this task you need the following basic knowledge: Exponentialfunktion
$P (- 2 | - 1)$ liegt unterhalb der x-Achse. Keine Funktion mit dem Funktionsterm $f (x) = a^{x}$ (dabei ist $a$ eine positive, reelle Zahl) liefert negative Funktionswerte. Also ist diese Teilaufgabe nicht erfüllbar.
Auch rechnerisch erhält man keine Lösung: $- 1 = a^{- 2}$ ist für kein a erfüllbar.
Tipp: Die Lösung verlangt keine Rechnung!

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