Exercises: Exponential functions

Bringe Exponentialfunktionen auf die Grundform $𝖿 (𝗑) = 𝖻 \cdot 𝖺^{𝗑}$ und entscheide dann, ob der Graph steigend oder fallend ist.

$h (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2} )^{2 x - 1}$

$k (x) = - 8 \cdot (\frac{1}{2} )^{2 - 3 x}$

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$k (x)$	$=$	$- 8 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2 - 3 x}$
	↓	Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel.
	$=$	$- 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 3 x}$
	↓	Zerlege den Potenzterm erneut.
	$=$	$- 2 \cdot {[{(\frac{1}{2})}^{- 3}]}^{x}$
	↓	Wandle den negativen Exponenten in einen positiven um und berechne.
	$=$	$- 2 \cdot 8 x$

$f (x)$	$=$	$8 \cdot 2^{x - 2}$
	↓	Wende ein Potenzgesetz an und zerlege $2^{x - 2}$ in ein Produkt.
	$=$	$8 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- 2}$
	↓	Rechne aus.
	$=$	$8 \cdot 2^{x} \cdot \frac{1}{4}$
	↓	Beachte dabei den negativen Exponenten!
	$=$	$2 \cdot 2^{x}$
	↓	Vereinfache weiter.

$g (x)$	$=$	$- 2 \cdot {0,5}^{x - 3}$
	↓	Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel in ein Produkt.
	$=$	$- 2 \cdot {0,5}^{- 3} \cdot {0,5}^{x}$	${0,5}^{- 3} = 8$
	↓	Rechne das Produkt soweit wie möglich aus.
	$=$	$- 16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x}$

$h (x)$	$=$	$\frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2 x - 1}$
	↓	Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel in ein Produkt.
	$=$	$\frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2 x} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 1}$
	↓	Rechne negative Exponenten in positive um.
	$=$	$\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2 x}$
	↓	Zerlege den Potenzterm erneut und berechne den Rest.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot {[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{x}$
	↓	Wähle die Basis nun so, dass sich insgesamt die Form $𝖿 (𝗑) = 𝖻 \cdot 𝖺^{𝗑}$ ergibt.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{4})}^{x}$