Mixed exercises: e- and ln-function

Vereinfache jeden der Terme so weit wie möglich

$\ln (e^{7})$

For this task you need the following basic knowledge: Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus. Deswegen:
$\ln (e^{7}) = 7$
$e^{3 \cdot \ln (5)}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzgesetze
Möglicher Lösungsweg mit den Potenzgesetzen:
$e^{3 \cdot \ln (5)} = (e^{\ln (5)})^{3}$
$e^{3 \cdot \ln (5)}$ $=$
↓
Wende das Potenzgesetz für mehrfache Potenzen an.
$(e^{\ln (5)})^{3}$ $=$
↓
Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus.
$5^{3}$ $=$ $125$

$\ln (\frac{3}{a}) + \ln (6 a)$

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$e^{3 \cdot \ln (5)}$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz für mehrfache Potenzen an.
$(e^{\ln (5)})^{3}$	$=$
	↓	Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus.
$5^{3}$	$=$	$125$

$\ln (\frac{3}{a}) + \ln (6 a)$	$=$
	↓	Ziehe den Quotienten im ersten Logarithmus und das Produkt im zweiten Logarithmus mit den Rechenregeln für Logarithmen auseinander.
	$=$	$\ln (3) - \ln (a) + \ln (6) + \ln (a)$
	$=$	$\ln (3) + \ln (6)$
	↓	Ziehe die beiden Summanden mit den Logarithmus-Rechenregeln wieder zusammen.
$\ln (3 \cdot 6)$	$=$	$\ln (18)$
	↓	Ohne Taschenrechner lässt sich dieser Term nicht weiter vereinfachen.

$7 \ln (b^{3}) - \ln (b^{21})$	$=$
	↓	Ziehe bei beiden Logarithmen den Exponenten von $b$ vor den Logarithmus.
	$=$	$7 \cdot 3 \ln (b) - 21 \ln (b)$
	$=$	$21 \ln (b) - 21 \ln (b)$
	$=$	$0$

$(e^{b})^{\ln (2)}$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz für mehrfache Potenzen an
	$=$	$(e^{\ln (2)})^{b}$
	↓	Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus.
	$=$	$2^{b}$