Mixed exercises: e- and ln-function

${({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x})}_{}^2$

Ausmultiplizieren mit Hilfe der Binomischen Formeln ergibt:

${\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}^2+2\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}^2$

Vereinfachung der Exponenten mit den Potenzgesetzen bringt:

${\mathrm{e}}^{2x}+2\cdot e^x\cdot e^{-x}+{\mathrm{e}}^{-2x}$

Wende erneut die Potenzgesetze an:

${\mathrm{e}}^{2x}+2\cdot {\mathrm{e}}^{x+(-x)}+{\mathrm{e}}^{-2x}$

und zusammengefasst:

${\mathrm{e}}^{2x}+2\cdot {\mathrm{e}}^0+{\mathrm{e}}^{-2x}$



Unter Beachtung von ${\mathrm{e}}^0=1$ ergibt sich schließlich:

${\mathrm{e}}^{2x}+2+{\mathrm{e}}^{-2x}$.

$({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}+5)\cdot {\mathrm{e}}^x$

Multipliziere die Klammer aus:

${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2-{\mathrm{e}}^{-x}\cdot {\mathrm{e}}^x+5\cdot {\mathrm{e}}^x$

Wende das Potenzgesetz an:

${\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^{-x}\cdot {\mathrm{e}}^x+5{\mathrm{e}}^x$

Wende das Potenzgesetz an:

${\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^{-x+x}+5{\mathrm{e}}^x$

${\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^0+5{\mathrm{e}}^x$

Verwende ${\mathrm{e}}^0=1$:

${\mathrm{e}}^{2x}-1+5{\mathrm{e}}^x$

$${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}+1}}{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}+2}}}$$

Wende die Potenzgesetze an:

$e^{3x+1-(-x+2)}$

Löse die Minusklammer auf:

$e^{3x+1+x-2}$

und fasse zusammen:

$e^{4x-1}$.

${\mathrm{e}}^{-x}\cdot {\mathrm{e}}^{-x+2}\cdot {\mathrm{e}}^{2x-3}$

Wende das Potenzgesetz an:

${\mathrm{e}}^{-x+(-x)+2+2x+(-3)}$

Fasse im Exponenten zusammen und schreibe alternativ ohne Potenz

$${\mathrm{e}}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$$

$\frac{1}{{\mathrm{e}}^{2x}}+3{\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2-{\left(\frac{2}{{\mathrm{e}}^x}\right)}^2$

Wende das Potenzgesetz an:

$e^{-2x}+3e^{-2x}-{\left(\frac{2}{e^x}\right)}^2$

Verwende ${\left(\frac{2}{{\mathrm{e}}^x}\right)}^2=\frac{4}{{\mathrm{e}}^{2x}}$:

$e^{-2x}+3e^{-2x}-\frac{4}{e^{2x}}$

Schreibe den Bruch mit Hilfe eines negativen Exponenenten und fasse zusammen:

$e^{-2x}+3e^{-2x}-4e^{-2x}$

$4e^{-2x}-4e^{-2x}=0$