Exercises: Discussing ln-functions

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen, 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktion:

$f (x) = (1 - x) \cdot \ln (1 - \frac{1}{x})$ ; $D_{f} = D_{max}$

For this task you need the following basic knowledge: ln - Funktion

Definitionslücke des Bruchs

$f (x) = (1 - x) \cdot \ln (1 - \frac{1}{x})$

Der Nenner des Bruches darf nicht gleich 0 werden.

Definitionslücke bei: $x = 0$

Definitionslücken des Logarithmus

$f (x) = (1 - x) \cdot \ln (1 - \frac{1}{x})$

Der Logarithmus muss immer größer als 0 sein.

$\begin{array}{rclllll} 1 - \frac{1}{x} & > & 0 & | & + \frac{1}{x} \\ 1 & > & \frac{1}{x} & | & \cdot x \end{array}$

Nun musst du eine Fallunterscheidung machen für x größer oder kleiner Null:

Fall $x > 0$ $\begin{array}{rclllll} x & > & 1 \end{array}$
Fall $x < 0$ $\begin{array}{rclllll} x & < & 1 \end{array}$ und strenger noch nach Annahme $\begin{array}{rclllll} x & < & 0 \end{array}$

$\Rightarrow D_{f} = ℝ \ [0; 1]$

Nullstellen

Nun musst du die Nullstellen bestimmen. Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Also wird die erste gleich Klammer 0 gesetzt.

$1 - x$	$=$	$0$	$+ x$
$x$	$=$	$1$

$\Rightarrow$ kein Element des Definitionsbereich, daher keine Nullstelle .

Nun wird die zweite Klammer gleich 0 gesetzt.

\ln (1 - \frac{1}{x})

=

0

Der ln ist 0, wenn das Innere der Klammer gleich 1 ist.

$\Rightarrow$ Da der Bruch nie gleich 0 sein kann, gibt es keine Nullstelle für $\ln (1 - \frac{1}{x})$ .

Also besitzt die Funktion $f$ keine Nullstelle.

Ableitung

Nun musst du die Ableitungen ausrechnen

1. Ableitung:

$f (x) = (1 - x) \cdot \ln (1 - \frac{1}{x})$

Da es sich um ein Produkt handelt, kann hier die Produktregel angewandt werden. Dazu $u = (1 - x)$ und $v = \ln (1 - \frac{1}{x})$ getrennt ableiten.

Für $v$ muss mit der Ableitung vom Inneren des $\ln$ nachdifferenziert werden.

u^{'}

=

- 1

$v^{'}$	$=$	$\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$
	↓	Terme multiplizieren
	$=$	$\frac{1}{x^{2} - x}$

Nun kann die Produktregel angewendet werden.

$f^{'} (x)$	$=$	$- 1 \cdot \ln (1 - \frac{1}{x}) + (1 - x) \cdot \frac{1}{x^{2} - x}$
	↓	Die hinteren beiden Terme multiplizieren
	$=$	$- \ln (1 - \frac{1}{x}) + \frac{1 - x}{x^{2} - x}$
	↓	Im Zähler -1 und im Nenner x ausklammern
	$=$	$- \ln (1 - \frac{1}{x}) - \frac{x - 1}{x (x - 1)}$
	↓	$(x - 1)$ kürzen
	$=$	$- \ln (1 - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x}$

2. Ableitung:

Als erstes den Term der ersten Ableitung in eine geeignetere Form bringen.

$f^{'} (x)$	$=$	$- \ln (1 - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x}$
	↓	Im ln 1 mit x erweitern und dann davon $\frac{1}{x}$ subtrahieren
	$=$	$- \ln (\frac{x - 1}{x}) - \frac{1}{x}$

$f^{'} (x)$ ableiten:

Den ln mit der Kettenregel ableiten und dabei für das Nachdifferenzieren die Quotientenregel verwenden, wobei gilt: $u ‘ = 1, v ‘ = 1$ . Im Anschluss $\frac{1}{x}$ ebenfalls mit der Quotientenregel ableiten, wobei gilt: $u^{'} = 0,$ $v^{'} = 1$ .

$f ‘ ‘ (x)$	$=$	$- (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1 \cdot x - (x - 1) \cdot 1}{x^{2}}) + \frac{1}{x^{2}}$
	↓	In der Klammer mit x kürzen und dann multiplizieren.
	$=$	$- \frac{x - (x - 1)}{x^{2} - x} + \frac{1}{x^{2}}$
	↓	Ersten Zähler vereinfachen und im Nenner x ausklammern.
	$=$	$- \frac{1}{x \cdot (x - 1)} + \frac{1}{x^{2}}$
	↓	Alle Brüche auf den Hauptnenner $x^{2} \cdot (x - 1)$ erweitern.
	$=$	$- \frac{x}{x^{2} \cdot (x - 1)} + \frac{(x - 1)}{x^{2} \cdot (x - 1)}$
	↓	Brüche addieren.
	$=$	$- \frac{1}{x^{2} \cdot (x - 1)}$

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