Exercises: Discussing ln-functions

Diskutiere folgende Funktionen.

$f (x) = \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$ ; $D_{f} = D_{m a x}$

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenner

$f (x) = \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

$x^{2}$	$=$	$0$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$0$

Definitionslücken des Logarithmus

$f (x) = \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$

Der ln muss immer positiv sein.

$\frac{x + 2}{x^{2}}$	$>$	$0$	$\cdot x^{2}$
	↓	Da $x^{2}$ immer positiv ist, muss keine Fallunterscheidung durchgeführt werden.
$x + 2$	$>$	$0$	$- 2$
$x$	$>$	$- 2$

$\Rightarrow D_{f} =] - 2; \infty [\ {0}$

Nullstellenbestimmung

Bestimme die Nullstellen

$f (x) = \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$

$f (x)$	$=$	$0$
$\ln \frac{x + 2}{x^{2}}$	$=$	$0$
	↓	$\ln x$ ist für $x = 1$ gleich 0. Finde also die x-Werte, sodass $\frac{x + 2}{x^{2}} = 1$
$\frac{x + 2}{x^{2}}$	$=$	$1$	$\cdot x^{2}$
$x + 2$	$=$	$x^{2}$	$- x^{2}$
$- x^{2} + x + 2$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1; 2}$	$=$	$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$
$x_{1; 2}$	$=$	$\frac{- 1 \pm 3}{- 2}$

$x_{1} = \frac{- 1 + 3}{- 2} = - 1, x_{2} = \frac{- 1 - 3}{- 2} = 2$

$\Rightarrow NST (- 1 | 0), NST (2 | 0)$

Ableitungen bilden

Bestimme die Ableitungen.

1. Ableitung

$f (x) = \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.

$u ‘ = 1, v ‘ = 2 x$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten, nachdifferenzieren mit der Quotientenregel.

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{x^{2}}{x + 2} \cdot \frac{1 \cdot x^{2} - (x + 2) \cdot 2 x}{x^{4}}$
	↓	Im Zähler des zweiten Bruchs ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{x^{2}}{x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 2 x^{2} - 4 x}{x^{4}}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\frac{x^{2}}{x + 2} \cdot \frac{- x^{2} - 4 x}{x^{4}}$
	↓	Brüche multiplizieren und kürzen
	$=$	$\frac{- x - 4}{x^{2} + 2 x}$

2. Ableitung

$f^{'} (x) = \frac{- x - 4}{x^{2} + 2 x}$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u') und Nenner (v').

$u ‘ = - 1, v ‘ = 2 x + 2$

Quotientenregel anwenden.

$f^{''} (x)$	$=$	$\frac{(x^{2} + 2 x) \cdot (- 1) - (- x - 4) \cdot (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x)}^{2}}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{- x^{2} - 2 x + 2 x^{2} + 2 x + 8 x + 8}{{(x^{2} + 2 x)}^{2}}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\frac{x^{2} + 8 x + 8}{{(x^{2} + 2 x)}^{2}}$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.

$- x - 4$	$=$	$0$	$+ x$
$x$	$=$	$- 4$

$\Rightarrow$ Da der x-Wert nicht Element des Definitionsbereiches ist, hat die Funktion keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Bestimme die Wendepunkte.

x-Werte bestimmen

$f^{''} (x) = \frac{x^{2} + 8 x + 8}{{(x^{2} + 2 x)}^{2}}$

Zum Bestimmen der Wendepunkt wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.

$x^{2} + 8 x + 8$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel verwenden.
$x_{1; 2}$	$=$	$\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2}$
$x_{1; 2}$	$=$	$- 4 \pm 2 \sqrt{2}$

$f (x_{1}) = \ln \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{{(- 4 + 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$\Rightarrow$ Da bei $x_{2}$ das Innere des Logarithmus negativ ist, gibt es nur für $x_{1}$ einen Wendepunkt.

$\Rightarrow W P (- 4 \pm 2 \sqrt{2} | \ln \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{{(- 4 + 2 \sqrt{2})}^{2}})$

Grenzwertbetrachtung

Betrachte die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.

$\Rightarrow D_{f} =] - 2; \infty [\ {0}$

Betrachtet werden muss das Verhalten an den Definitionslücken sowie gegen -2 und $+ \infty$ .

Grenzwert bei 0

$f (x) = \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$

Annäherung von links.

	$\lim_{x \to 0^{-}} \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$
$=$	$\lim_{x \to 0^{-}} \ln \frac{\overset{\to 0}{\overset{⏞}{x}} + 2}{\underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{{\underset{⏟}{x}}_{\to 0^{-}}^{2}}}}$
$=$	$\ln \frac{2}{0^{+}}$
$=$	$+ \infty$

$f (x) = \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$

Annäherung von rechts.

	$\lim_{x \to 0^{+}} \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$
$=$	$\lim_{x \to 0^{+}} \ln \frac{\overset{\to 0}{\overset{⏞}{x}} + 2}{\underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{{\underset{⏟}{x}}_{\to 0^{+}}^{2}}}}$
$=$	$\ln \frac{2}{0^{+}}$
$=$	$+ \infty$

Grenzwert bei -2

$f (x) = \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$

Annäherung von rechts

	$\lim_{x \to - 2^{+}} \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$
$=$	$\lim_{x \to - 2^{+}} \ln \frac{\overset{\to 0^{+}}{\overset{⏞}{\overset{\to - 2^{-}}{\overset{⏞}{x}} + 2}}}{\underset{\to 4}{\underset{⏟}{x^{2}}}} = \ln 0^{+}$
$=$	$- \infty$

Grenzwert gegen $+ \infty$

	$\lim_{x \to \infty} \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$
$=$	$\lim_{x \to \infty} \ln \frac{\overset{\to 0^{+}}{\overset{⏞}{\frac{x}{x^{2}}}} + \overset{\to 0^{+}}{\overset{⏞}{\frac{2}{x^{2}}}}}{\underset{\to 1}{\underset{⏟}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}} = \ln \frac{0^{+}}{1}$
$=$	$- \infty$

Symmetrieverhalten

Untersuche das Symmetrieverhalten.

$f (x) = \ln \frac{x + 2}{x^{2}}$

Setze $- x$ für $x$ ein.

$f (- x)$	$=$	$\ln \frac{- x + 2}{{(- x)}^{2}}$
	$=$	$\ln \frac{- x + 2}{x^{2}}$

$\Rightarrow$ Da $f (- x)$ weder $f (x)$ noch $- f (x)$ ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung .

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

	$x \in] - 2; 0 [$	$x = 0$	$x > 0$
Vorzeichen von $f^{'} (x)$	+	/	-
$G_{f}$	$↗$	/	$↘$

$f (x) = 2 (\frac{2}{x})^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2}); D_{f} = D_{m a x}$

Definitionsbereich bestimmen

Bestimme den Definitionsbereich.

Nullstellen des Nenners

$f (x) = 2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$

Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.

$x = 0$

Definitionsbereich des Logarithmus

$f (x) = 2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$\frac{x}{2}$ ist dann positiv, wenn x positiv ist.

$\Rightarrow D_{f} =] 0; \infty [$

Nullstellenbestimmung

Bestimme die Nullstellen.

$f (x) = 2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$

Setze die Funktion gleich 0.

$0 = 2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$

Betrachet werden muss, wann die einzelnen Produkte gleich 0 werden.

Da 2 eine Konstante ist und in der ersten Klammer x nur im Nenner vorkommt, können beide nicht 0 werden.

Betrachte werden muss also nur die zweite Klammer.

$0$	$=$	$1 + 2 \ln \frac{x}{2}$	$- 1$
$- 1$	$=$	$2 \ln \frac{x}{2}$	$: 2$
$- \frac{1}{2}$	$=$	$\ln \frac{x}{2}$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$e^{- \frac{1}{2}}$	$=$	$\frac{x}{2}$	$\cdot 2$
$x$	$=$	$2 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$
	↓	Ab hier kann man die Formel noch ein wenig umstellen mithilfe von Potenzgesetzen.
$x$	$=$	$2 \cdot e^{- 1 \cdot (\frac{1}{2})}$
	↓	$a^{- 1} = \frac{1}{a}$
$x$	$=$	$\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$
	↓	$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
$x$	$=$	$\frac{2}{\sqrt{e}}$

$\Rightarrow N S T (\frac{2}{\sqrt{e}} | 0)$

Ableitungen bilden

1. Ableitung

$f (x)$	$=$	$2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$
	↓	Zur Vereinfachung den Exponenten in die Klammer ziehen .
	$=$	$2 (\frac{4}{x^{2}}) (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{8}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \ln \frac{x}{2}$

Bilde nun die Ableitung. Für den zweiten Summanden die Produktregel verwenden, wobei gil: $u ‘ = (- \frac{32}{x^{3}}), v ‘ = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}$

$f^{'} (x)$	$=$	$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{32}{x^{3}} \cdot \ln \frac{x}{2} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$
	↓	In der letzten Summe multiplizieren .
	$=$	$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{32}{x^{3}} \cdot \ln \frac{x}{2} + \frac{16}{x^{3}}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$- \frac{32}{x^{3}} \cdot \ln \frac{x}{2}$

2. Ableitung

$f^{'} (x) = - \frac{32}{x^{3}} \cdot \ln \frac{x}{2}$

Getrennte Ableitung von $u = (- \frac{32}{x^{3}})$ und $v = (\ln \frac{x}{2})$ bilden und mithilfe der Produktregel die zweite Ableitung $f^{''} (x)$ bestimmen.

$u ‘ = \frac{96}{x^{4}}, v ‘ = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}$

Wende die Produktregel an.

$f^{''} (x)$	$=$	$\frac{96}{x^{4}} \cdot \ln \frac{x}{2} - \frac{32}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{96}{x^{4}} \cdot \ln \frac{x}{2} - \frac{32}{x^{4}}$
	$=$	$\frac{32}{x^{4}} \cdot (3 \ln \frac{x}{2} - 1)$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

$f^{'} (x) = - \frac{32}{x^{3}} \cdot \ln \frac{x}{2}$

Setze die Funktion gleich 0.

$0 = - \frac{32}{x^{3}} \cdot \ln \frac{x}{2}$

Das Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt.

Der zweite Faktor ( ln ) ist dann 0, wenn das Innere des ln = 1 ist.

$\frac{x}{2}$	$=$	$1$	$\cdot 2$
$x$	$=$	$2$

Art des Extremums bestimmen

$f^{''} (x) = \frac{32}{x^{4}} \cdot (3 \ln \frac{x}{2} - 1)$

Gefundenes x=2 einsetzen.

	$f^{''} (2)$
$=$	$\frac{32}{2^{4}} \cdot (3 \ln \frac{2}{2} - 1)$
$=$	$\frac{32}{16} \cdot (3 \cdot 0 - 1)$
$=$	$- 2$

$\Rightarrow$ Da $f^{''} (x) < 0$ ist an der Stelle $x = 2$ ein Maximum.

y-Wert bestimmen

$f (x) = 2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$

Gefundenes $x = 2$ einsetzen.

	$f (2)$
$=$	$2 {(\frac{2}{2})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{2}{2})$
$=$	$2 \cdot 1 \cdot (1 + 2 \cdot 0)$
$=$	$2$

$f$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $(2 | 2)$ .

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

$f ‘ ‘ (x) = \frac{32}{x^{4}} \cdot (3 \ln \frac{x}{2} - 1)$

Setze die Funktion gleich 0.

$0 = \frac{32}{x^{4}} \cdot (3 \ln \frac{x}{2} - 1)$

Das Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt, daher wird nur der zweite Faktor betrachtet.

$0$	$=$	$3 \ln \frac{x}{2} - 1$	$+ 1$
$1$	$=$	$3 \ln \frac{x}{2}$	$: 3$
$\frac{1}{3}$	$=$	$\ln \frac{x}{2}$
	↓	e-Funktion anwenden.
$e^{\frac{1}{3}}$	$=$	$\frac{x}{2}$	$\cdot 2$
$x$	$=$	$2 e^{\frac{1}{3}}$

y-Wert bestimmen

$f (x) = 2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$

Gefundenes $x = 2 \cdot e^{\frac{1}{3}}$ einsetzen

$f (2 \cdot e^{\frac{1}{3}})$	$=$	$2 {(\frac{2}{2 \cdot e^{\frac{1}{3}}})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{2 \cdot e^{\frac{1}{3}}}{2})$
	↓	Beide Brüche mit 2 kürzen.
	$=$	$2 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})}^{2} (1 + 2 \ln (e^{\frac{1}{3}}))$
	↓	ln und e hebt sich auf. Exponent in die Klammer ziehen.
	$=$	$\frac{2}{e^{\frac{2}{3}}} (1 + 2 \cdot \frac{1}{3})$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{2}{e^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3 e^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Ersten Bruch mit 3 erweitern.
	$=$	$\frac{6}{3 e^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3 e^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Addieren.
	$=$	$\frac{10}{3 e^{\frac{2}{3}}}$

$\Rightarrow W P (2 \cdot e^{\frac{1}{3}} | \frac{10}{3 e^{\frac{2}{3}}})$

Grenzwertbetrachtung

Artikel zum Thema

$\Rightarrow D_{f} =] 0; \infty [$

Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und $+ \infty$ .

Grenzwert bei 0

$f (x) = 2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$

Annäherung von rechts an 0.

	$\lim_{x \to 0^{+}} 2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2}) =$
$=$	$\lim_{x \to 0^{+}} 2 \underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{{(\frac{2}{\underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{x}}})}^{2}}} \underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{(1 + 2 \underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{\ln \frac{\overset{\to 0^{+}}{\overset{⏞}{x}}}{2}}})}}$
$=$	$- \infty$

Grenzwert bei $+ \infty$

$f (x) = 2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$

Annäherung an $+ \infty$ .

	$\lim_{x \to + \infty} 2 {(\frac{2}{x})}^{2} (1 + 2 \ln \frac{x}{2})$
$=$	$\lim_{x \to + \infty} 2 {\underset{⏟}{(\frac{2}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{x}}})}}_{\to 0}^{2} \underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{(1 + 2 \underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{\ln \frac{\overset{\to + \infty}{\overset{⏞}{x}}}{2}}})}}$
$=$	$0$

Symmetrieverhalten

Überprüfe das Symmetrieverhalten.

Die Funktion ist nur rechts der y-Achse definiert.

$\Rightarrow$ Daher kann die Funktion nicht punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

	$x \in] 0; 2 [$	$x = 2$	$x \in] 2; \infty [$
Vorzeichen von f'(x)	+	0	-
$G_{f}$	$↗$	Hochpunkt	$↘$

$f (x) = \frac{1 + \ln x}{x}; D_{f} = D_{m a x}$

Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich.
Nullstellen des Nenner
$f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}; D_{f} = D_{m a x}$
Setze den Nenner der Funktion gleich 0.
$x = 0$
Definitionsbereich des Logarithmus
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
$\Rightarrow D_{f} =] 0; \infty [$
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen.
$f (x) = \frac{1 + \ln x}{x}$
Setze den Zähler der Funktion gleich 0.
$1 + \ln x$ $=$ $0$ $- 1$
$\ln x$ $=$ $- 1$
↓
e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$x$ $=$ $e^{- 1}$
$\Rightarrow N S T (e^{- 1} | 0)$
Ableitungen bilden
Berechne die Ableitungen.
1. Ableitung
$f (x) = \frac{1 + lnx}{x}$
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.
$u ‘ = \frac{1}{x}, v ‘ = 1$
Quotientenregel anwenden.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{\frac{1}{x} \cdot x - (1 + \ln x) \cdot 1}{x^{2}}$
↓
Ausmultiplizieren.
$=$ $\frac{1 - 1 - \ln x}{x^{2}}$
$=$ $- \frac{\ln x}{x^{2}}$
2. Ableitung
$f ‘ (x) = - \frac{\ln x}{x^{2}}$
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.
$u ‘ = \frac{1}{x}, v ‘ = 2 x$
Quotientenregel anwenden.
$f^{''} (x)$ $=$ $- \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{2} - \ln x \cdot 2 x}{x^{4}}$
↓
Mit $x$ kürzen.
$=$ $- \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 2}{x^{3}}$
↓
Ausmultiplizieren.
$=$ $- \frac{1 - 2 \ln x}{x^{3}}$
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
x-Werte bestimmen
$f^{'} (x) = - \frac{\ln x}{x^{2}}$
Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.
$\ln x$ $=$ $0$
↓
e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$x$ $=$ $e^{0}$
$x$ $=$ $1$
Art des Extremums bestimmen
$f^{''} (x) = - \frac{1 - 2 \ln x}{x^{3}}$
Gefundenes x=1 einsetzen.
$f^{''} (1)$ $=$ $- \frac{1 - 2 \ln 1}{1^{3}}$
↓
$\ln 1 = 0$
$=$ $- \frac{1}{1}$
$=$ $- 1$
$\Rightarrow$ Da $f^{''} (x) < 0$ ist an der Stelle $x = 1$ ein Maximum.
y-Wert bestimmen
$f (x) = \frac{1 + lnx}{x}$
Gefundenes $x = 1$ einsetzen.
$f (1)$ $=$ $\frac{1 + \ln 1}{1}$
↓
$\ln 1 = 0$
$=$ $\frac{1}{1}$
$=$ $1$
$\Rightarrow H P (1 | 1)$
Wendepunkte bestimmen
Bestimme den Wendepunkt.
x-Werte bestimmen
$f^{''} (x) = - \frac{1 - 2 \ln x}{x^{3}}$
Es wird nur der Zähler der zweiten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.
$1 - 2 \ln x$ $=$ $0$ $+ 2 \ln x$
$1$ $=$ $2 \ln x$ $: 2$
$\frac{1}{2}$ $=$ $\ln x$
↓
e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$e^{\frac{1}{2}}$ $=$ $x$
y-Wert bestimmen
$f (x) = \frac{1 + lnx}{x}$
Gefundenes $x = e^{\frac{1}{2}}$ einsetzen.
$f (e^{\frac{1}{2}})$ $=$ $\frac{1 + \ln e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$
↓
ln und e heben sich auf. $\ln (e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$
$=$ $\frac{1 + \frac{1}{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$
$=$ $\frac{\frac{3}{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$
$=$ $\frac{3}{2 \sqrt{e}}$
$\Rightarrow WP (e^{\frac{1}{2}} | \frac{3}{2 \sqrt{e}})$
Grenzwertbetrachtung
Untersuche die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.
$D_{f} =] 0; \infty [$
Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und $+ \infty$ .
Grenzwert bei 0
$f (x) = \frac{1 + lnx}{x}$
Annäherung von rechts an 0.
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + \ln x}{x}$
$=$ $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + \overset{\to - \infty}{\overset{⏞}{lnx}}}{\underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{x}}}$
$=$ $- \infty$
Grenzwert bei $+ \infty$
$f (x) = \frac{1 + lnx}{x}$
Annäherung an $+ \infty$ .
$\lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \ln x}{x}$
$=$ $\lim_{x \to + \infty} \frac{\overset{\to + \infty}{\overset{⏞}{1 + lnx}}}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{x}}}$
↓
Satz von l'Hospital anwenden.
$=$ $\lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}$
$=$ $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{x}}}$
$=$ $0$
Symmetrieverhalten
Betrachte das Symmetrieverhalten.
Die Funktion ist nur rechts der y-Achse definiert.
$\Rightarrow$ Daher kann die Funktion nicht punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
$\begin{array}{lccc} x < 1 & x = 1 & x > 1 \\ Vorzeichen von f^{'} (x) & + & 0 & - \\ G_{f} & ↗ & Hochpunkt & ↘ \end{array}$

$f (x) = \frac{1}{1 - l n (x)}; D_{f} = D_{m a x}$

Definitionsbereich bestimmen

Bestimme den Definitionsbereich.

Nullstellen des Nenner

$f (x) = \frac{1}{1 - lnx}$

Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.

$1 - \ln x$	$=$	$0$
$1$	$=$	$\ln x$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$e$	$=$	$x$

Definitionsbereich des Logarithmus

$f (x) = \frac{1}{1 - lnx}$

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$\Rightarrow$ $D_{f} =] 0; + \infty [\ e$

Nullstellenbestimmung

Bestimme alle Nullstellen.

$\Rightarrow$ Da im Zähler der Funktion kein Element mit $x$ vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen.

Ableitungen bilden

Bilde Ableitungen.

1. Ableitung

Wandle zuerst die Funktion ein wenig um.

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{1 - \ln x}$
	↓	Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
	$=$	${(1 - \ln x)}^{- 1}$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$f^{'} (x)$	$=$	$- {(1 - \ln x)}^{- 2} \cdot (- \frac{1}{x})$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\frac{1}{x \cdot {(1 - \ln x)}^{2}}$

2. Ableitung

Wandle zunächst die 1. Ableitung um.

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{1}{x \cdot {(1 - \ln x)}^{2}}$
	↓	Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
	$=$	${(x \cdot {(1 - \ln x)}^{2})}^{- 1}$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten, mit Hilfe der Produktregel nachdifferenzieren.

$f^{''} (x)$	$=$	$- {(x \cdot {(1 - \ln x)}^{2})}^{- 2} \cdot (1 \cdot {(1 - \ln x)}^{2} + x \cdot 2 \cdot (1 - \ln x) \cdot (- \frac{1}{x}))$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$- \frac{{(1 - \ln x)}^{2} + x \cdot 2 \cdot (1 - \ln x) \cdot (- \frac{1}{x})}{x^{2} \cdot {(1 - \ln x)}^{4}}$
	↓	Mit $1 - \ln x$ kürzen.
	$=$	$- \frac{(1 - \ln x) + x \cdot 2 \cdot (- \frac{1}{x})}{x^{2} \cdot {(1 - \ln x)}^{3}}$
	↓	Ausmultiplizieren und gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$- \frac{- 1 - \ln x}{x^{2} \cdot {(1 - \ln x)}^{3}}$
	↓	-1 ausklammern.
	$=$	$\frac{1 + \ln x}{x^{2} \cdot {(1 - \ln x)}^{3}}$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

$f^{'} (x) = \frac{1}{x \cdot {(1 - \ln x)}^{2}}$

Zähler der ersten Ableitung untersuchen.

$\Rightarrow$ Da der Zähler der ersten Ableitung keine Elemente mit x enthält, hat $f (x)$ keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Bestimme die Wendepunkte.

x-Werte bestimmen

$f^{''} (x) = \frac{1 + \ln x}{x^{2} \cdot {(1 - \ln x)}^{3}}$

Zähler der ersten Ableitung gleich 0 setzen.

$1 + \ln x$	$=$	$0$	$- 1$
$\ln x$	$=$	$- 1$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$x$	$=$	$e^{- 1}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
$x$	$=$	$\frac{1}{e}$

$\frac{1}{e} = x$

y-Wert bestimmen

$f (x) = \frac{1}{1 - lnx}$

Gefundenes $x = \frac{1}{e}$ einsetzen.

$f (\frac{1}{e})$	$=$	$\frac{1}{1 - \ln \frac{1}{e}}$
	↓	$\ln \frac{1}{e} = \ln e^{- 1} = - 1$
	$=$	$\frac{1}{1 - (- 1)}$
	$=$	$\frac{1}{2}$

Grenzwertbetrachtung

Betrachte die Grenzwerte an den Rändern des Definitonsbereichs.

$D_{f} =] 0; + \infty [\ e$

Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und $+ \infty$ sowie an der Definitionslücke.

Grenzwert bei 0

$f (x) = \frac{1}{1 - lnx}$

Annäherung von rechts an 0.

	$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{1 - \ln x}$
$=$	$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{1 - \underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{\ln x}}}}}$
$=$	$0$

Grenzwert bei $+ \infty$

$f (x) = \frac{1}{1 - lnx}$

Annäherung an $+ \infty$ .

	$\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{1 - \ln x}$
$=$	$\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{1 - \underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{\ln x}}}}}$
$=$	$0$

Grenzwert bei e

$f (x) = \frac{1}{1 - lnx}$

Annäherung von links an e.

	$\lim_{x \to e^{-}} \frac{1}{1 - \ln x}$
$=$	$\lim_{x \to e^{-}} \frac{1}{\underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{1 - \underset{\to 1^{-}}{\underset{⏟}{\ln x}}}}}$
$=$	$\infty$

$f (x) = \frac{1}{1 - lnx}$

Annäherung von rechts an e.

	$\lim_{x \to e^{+}} \frac{1}{1 - \ln x}$
$=$	$\lim_{x \to e^{+}} \frac{1}{\underset{\to 0^{-}}{\underset{⏟}{1 - \underset{\to 1^{+}}{\underset{⏟}{\ln x}}}}}$
$=$	$- \infty$

Symmetrieverhalten

Betrachte das Symmetrieverhalten.

$f (x) = \frac{1}{1 - \ln x}$

$\Rightarrow$ Da f(x) nur rechts von der y-Achse existiert, kann die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

	$x < e$	$x = e$	$x > e$
Vorzeichen von $f^{'} (x)$	+	0	+
$G_{f}$	$↗$	$\to$	$↗$

$f (x) = \frac{1}{l n (x)}; D_{f} = D_{m a x}$

Definitionsbereich festlegen

Bestimme den Definitionsbereich.

Nullstellen des Nenners

$f (x) = \frac{1}{\ln x}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

$\ln x$	$=$	$0$
	↓	Setze beide Seiten der Gleichung als Exponent der e-Funktion , um nach x aufzulösen (da $e^{\ln x} = x$ ).
$e^{\ln x}$	$=$	$e^{0}$
$x$	$=$	$1$

Definitionsbereich der ln-Funktion

Da die ln-Funktion nur für positive x definiert ist, sind für f(x) auch nur positive x-Werte zuässig.

$\Rightarrow D_{f} = ℝ^{+} \ {1}$

Nullstellenbestimmung

Bestimme die Nullstellen.

$f (x) = \frac{1}{\ln x}$

Da der Zähler der Funktion keine Nullstelle besitzt, besitzt f(x) ebenfalls keine Nullstelle.

Ableitungen bilden

Bilde Ableitungen.

1. Ableitung

$f (x) = \frac{1}{\ln x}$

Wende die Quotientenregel an, um diese gebrochen rationale Funktion abzuleiten.

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{\ln x \cdot 0 - 1 \cdot \frac{1}{x}}{{(\ln x)}^{2}}$
	$=$	$- \frac{1}{x \cdot (\ln x)^{2}}$

2. Ableitung

$f^{'} (x) = \frac{- 1}{x \cdot (\ln x)^{2}}$

Wende erneut die Quotientenregel an. Zu beachten ist, dass bei der Ableitung des Nenners die Produktregel angewandt werden muss. Der Nenner wird im folgenden gesondert abgeleitet.

${(x \cdot (\ln x)^{2})}^{'} = 1 \cdot (\ln x)^{2} + x \cdot 2 \cdot \ln x \cdot \frac{1}{x}$

Um $(\ln x)^{2}$ abzuleiten, wende die Kettenregel an.

$f^{''} (x)$	$=$	$\frac{x \cdot (\ln x)^{2} \cdot 0 - (- 1) \cdot [1 \cdot (\ln x)^{2} + x \cdot 2 \cdot \ln x \cdot \frac{1}{x}]}{(x \cdot (\ln x)^{2})^{2}}$
	↓	Der erste Summand des Zählers wird Null, da mit Null multipliziert wird. In der Ableitung des Nenners kann $\frac{1}{x}$ mit x gekürzt werden. Im Nenner des Bruches werden die Potenzgesetze angewendet.
	$=$	$\frac{\ln x)^{2} + 2 \ln x}{x^{2} (\ln x)^{4}}$
	↓	Klammere im Zähler ln(x) aus.
	$=$	$\frac{\ln x \cdot (\ln x + 2)}{x^{2} (\ln x)^{4}}$
	↓	Kürze den Bruch mit ln(x)
	$=$	$\frac{\ln x + 2}{x^{2} (\ln x)^{3}}$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema.

x-Werte bestimmen

$f^{'} (x) = - \frac{1}{x \cdot (\ln x)^{2}}$

Da der Zähler der ersten Ableitung keine Nullstelle besitzt, hat $f (x)$ keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Bestimme den Wendepunkt

x-Werte bestimmen

$f^{''} (x) = \frac{\ln x + 2}{x^{2} (\ln x)^{3}}$

Um die Wendepunkte von $f (x)$ zu ermitteln, setze den Zähler der zweiten Ableitung gleich Null.

$\ln x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$\ln x$	$=$	$- 2$
	↓	Setze beide Seiten der Gleichung als Exponent der e-Funktion, um nach x aufzulösen (da $e^{\ln x} = x$ ).
$e^{\ln x}$	$=$	$e^{- 2}$
$x$	$=$	$\frac{1}{e^{2}}$

Zu Prüfen wäre nun noch, ob der ermittelte x-Wert nicht ebenfalls Nullstelle des Nenners ist (in diesem Fall wäre die Funktion an der ermittelten Stelle nicht definiert). Allerdings ist dies hier nicht der Fall, wie schnell ersichtlich wird, wenn man die beiden Faktoren des Nenners betrachtet ( $x^{2}$ ist stets positiv und $(\ln x)^{3}$ hat an der Stelle x=1 die Nullstelle).

Koordinate des Wendepunktes bestimmen

$f (x) = \frac{1}{\ln x}$

Setze hierzu den ermittelten x-Wert als Argument in f(x) ein.

$f (e^{- 2})$	$=$	$\frac{1}{\ln (e^{- 2})}$
	$=$	$\frac{1}{- 2}$
	$=$	$- \frac{1}{2}$

WEP $(e^{- 2}; - \frac{1}{2})$

Grenzwertbetrachtung

Bestimme die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.

$D_{f} = ℝ^{+} \ {1}$

Betrachtet werden muss das Verhalten an der Definitionslücke (x=1) sowie an den Rändern der Definitionsmenge (0 und $\infty$ )

Grenzwert an der Definitionslücke x=1

Annäherung von links:

	$\lim_{x \to 1^{-}} (\frac{1}{\ln x})$
	↓ $\ln x$ nähert sich der Null von links; ist also negativ, wodurch der gesamte Grenzwert negativ ist.
$=$	$\lim_{x \to 1^{-}} (\frac{1}{\underset{\to 0 -}{\underset{⏟}{\ln x}}})$
$=$	$- \infty$

Annäherung von rechts:

	$\lim_{x \to 1^{+}} (\frac{1}{\ln x})$
	↓ $\ln x$ nähert sich der Null von rechts; ist also positiv, wodurch der gesamte Grenzwert postiv ist.
$=$	$\lim_{x \to 1 +} (\frac{1}{\underset{\to 0 +}{\underset{⏟}{\ln x}}})$
$=$	$\infty$

Grenzwert bei 0

Annäherung nur von rechts, da $D_{f} = ℝ^{+} \ {1}$ .

$\lim_{x \to 0^{+}} (\frac{1}{\underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{\ln x}}}) = 0^{-}$

Das Minus neben der Null deutet an, dass sich der Graph der Null von unterhalb der x-Achse nähert.

Grenzwert gegen $+ \infty$

$\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{\underset{\to \infty}{\underset{⏟}{\ln x}}}) = 0$

Symmetrieverhalten

Bestimme das Symmetrieverhalten.

$f (- x) = \frac{1}{\ln (- x)}$

Setze in $f (x)$ als Argument $- x$ (statt $x$ ) ein.

Achtung: Da $D_{f} = ℝ^{+} \ {1}$ , liegt $- x$ nicht im Definitionsbereich, wodurch der Graph der Funktion keine Symmetrie aufweißt.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt und lässt Aussagen über die Steigung von $f (x)$ zu.

Betrachtet werden müssen die Intervalle der Definitionsmenge , also von Null bis zur Definitionslücke bei 1 und von 1 bis Unendlich.

$f^{'} (x) = - \frac{1}{x \cdot (\ln x)^{2}}$

In der gesamten Definitionsmenge von f(x) ist die erste Ableitung negativ, aufgrund des Faktors -1 vor dem Bruch (der Nenner des Bruchs ist stets positiv).

	$x \in] 0; 1 [$	$x > 1$
Vorzeichen von $f^{'} (x)$	-	-
$G_{f}$	$↘$	$↘$

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$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{\frac{1}{x} \cdot x - (1 + \ln x) \cdot 1}{x^{2}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{1 - 1 - \ln x}{x^{2}}$
	$=$	$- \frac{\ln x}{x^{2}}$

$f^{''} (x)$	$=$	$- \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{2} - \ln x \cdot 2 x}{x^{4}}$
	↓	Mit $x$ kürzen.
	$=$	$- \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 2}{x^{3}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$- \frac{1 - 2 \ln x}{x^{3}}$

$f^{''} (1)$	$=$	$- \frac{1 - 2 \ln 1}{1^{3}}$
	↓	$\ln 1 = 0$
	$=$	$- \frac{1}{1}$
	$=$	$- 1$

$f (1)$	$=$	$\frac{1 + \ln 1}{1}$
	↓	$\ln 1 = 0$
	$=$	$\frac{1}{1}$
	$=$	$1$

$1 - 2 \ln x$	$=$	$0$	$+ 2 \ln x$
$1$	$=$	$2 \ln x$	$: 2$
$\frac{1}{2}$	$=$	$\ln x$
	↓	e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
$e^{\frac{1}{2}}$	$=$	$x$

$f (e^{\frac{1}{2}})$	$=$	$\frac{1 + \ln e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$
	↓	ln und e heben sich auf. $\ln (e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$
	$=$	$\frac{1 + \frac{1}{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$
	$=$	$\frac{\frac{3}{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$
	$=$	$\frac{3}{2 \sqrt{e}}$

	$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + \ln x}{x}$
$=$	$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + \overset{\to - \infty}{\overset{⏞}{lnx}}}{\underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{x}}}$
$=$	$- \infty$

	$\lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \ln x}{x}$
$=$	$\lim_{x \to + \infty} \frac{\overset{\to + \infty}{\overset{⏞}{1 + lnx}}}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{x}}}$
	↓ Satz von l'Hospital anwenden.
$=$	$\lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}$
$=$	$\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{x}}}$
$=$	$0$

Exercises: Discussing ln-functions

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenner

Definitionslücken des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Grenzwert bei 0

Grenzwert bei -2

Grenzwert gegen +∞

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen des Nenners

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Art des Extremums bestimmen

y-Wert bestimmen

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

y-Wert bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Grenzwert bei 0

Grenzwert bei +∞

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenner

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Art des Extremums bestimmen

y-Wert bestimmen

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

y-Wert bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Grenzwert bei 0

Grenzwert bei +∞

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen des Nenner

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

x-Werte bestimmen

Wendepunkte bestimmen

x-Werte bestimmen

y-Wert bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Grenzwert bei 0

Grenzwert bei +∞

Grenzwert bei e

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

Definitionsbereich festlegen

Nullstellen des Nenners

Definitionsbereich der ln-Funktion

Nullstellenbestimmung

Ableitungen bilden

1. Ableitung

Grenzwert gegen $+ \infty$

Grenzwert bei $+ \infty$

Grenzwert bei $+ \infty$

Grenzwert bei $+ \infty$

Grenzwert gegen $+ \infty$