Math Functions Important types of functions and their properties Exponential and logarithm functions Exercises: Discussion of e-functions

Exercises: Discussion of e-functions

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = (x^{2} + x - 5) \cdot e^{x}$ .

Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $f$ .

For this task you need the following basic knowledge: Hoch- und Tiefpunkte berechnen

$f (x) = (x^{2} + x - 5) \cdot e^{x}$

Zum Ableiten von $f (x)$ benötigst du die Produktregel:

Die Ableitung des ersten Faktors $x^{2} + x - 5$ ist:

(x^{2} + x - 5)^{'} = 2 x + 1

Damit erhältst du für die gesamte Ableitung

f^{'} (x) = (x^{2} + x - 5) \cdot e^{x} + (2 x + 1) \cdot e^{x} = (x^{2} + x - 5 + 2 x + 1) \cdot e^{x} = (x^{2} + 3 x - 4) \cdot e^{x}

Nun berechnest du die Nullstellen von f(x) , also die Lösung der Gleichung von $f^{'} (x) = 0$ :

$f^{'} (x) = 0$

$\Leftrightarrow e^{x} \cdot (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich $0$ , wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich $0$ ist.

Also $e^{x} = 0$ oder $ x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .

Da die Exponentialfunktion $x \mapsto e^{x}$ nur positive Werte annimmt, gibt es für $e^{x} = 0$ keine Lösung. Löse also nun $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .

Dies kannst du mit der PQ-Formel berechnen:

\begin{aligned} x_{1,2} & = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^{2} - (- 4)} \\ = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4} \\ = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\ = - \frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \end{aligned}

$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1 \\ x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = - 4 \end{array}$

$\Leftrightarrow x \in {- 4, 1}$

Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, musst du sie in die zweite Ableitung von $f$ einsetzen. Dafür berechnest du zuerst $f^{''} (x)$ mit Hilfe der Produktregel:

\begin{array}{c} f^{''} (x) & = & (f^{'} (x))^{'} = (x^{2} + 3 x - 4) \cdot e^{x} + (2 x + 3) \cdot e^{x} \\ f^{''} (x) & = & (x^{2} + 3 x - 4 + 2 x + 3) \cdot e^{x} = (x^{2} + 5 x - 1) \cdot e^{x} \end{array}

Nun setzt du die Nullstellen der 1 Ableitung -4 und 1 in die zweite Ableitung ein.

$f^{''} (- 4) = ((- 4)^{2} + 5 \cdot (- 4) - 1) \cdot e^{- 4} = (16 - 20 - 1) \cdot e^{- 4} = - 5 \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{e^{- 4}}} < 0$ ,

sowie

$f^{''} (1) = (1^{2} + 5 \cdot 1 - 1) \cdot e^{1} = (1 + 5 - 1) \cdot e = 5 \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{e}} > 0$ .

Du siehst nun, dass an der Stelle $x = - 4$ der Graph von $f$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt hat.

Im Schaubild unten siehst du den Graphen von $f (x)$ gezeichnet (keine Sorge, dass war in der Aufgabe nicht verlangt ;-) ). Wie du siehst passen Hoch- und Tiefpunkt zum Graphen.

Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

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