The Open Learning Platform

Exercises: Shifting and stretching trigonometric functions

Finde die passenden Gleichungen zu den Funktionsgraphen:

For this task you need the following basic knowledge: Sinus- und Kosinusfunktion
Die Ruhelage der Funktion liegt auf der $x$ -Achse.
Der Graph schneidet das Koordinatensystem im Nullpunkt, also handelt es sich um eine Sinusfunktion (beziehungsweise einen verschobenen Kosinus).
Da es leichter ist, verwendest du in den weiteren Schritten die Sinusfunktion.
Im nächsten Schritt suchst du nach der Amplitude der Funktion.
Die Amplitude der Funktion ist $3$ . Das heißt, dass die Funktion vorerst von der Form $f (x) = 3 \cdot \sin (x)$ ist.
Jetzt fehlt dir nur noch die Periode der Funktion. Am Graphen kannst du ablesen, dass diese $2 π$ beträgt. Das ist die normale Periode von der Sinusfunktion.
Da die Periode der Sinusfunktion nicht verändert wurde, lautet die Funktion:
$f (x) = 3 \cdot \sin (x) .$
For this task you need the following basic knowledge: Sinus- und Kosinusfunktion
Bestimme zunächst die Ruhelage der Funktion.
Ruhelage bestimmen
Die Ruhelage der Funktion liegt $3$ Einheiten über der $x$ -Achse.
Der Graph hat ein Extremum (E) auf der $y$ -Achse. Das heißt, es handelt sich um eine Kosinusfunktion (beziehungsweise eine verschobene Sinusfunktion).
Da es leichter ist, beschränken wir uns hier auf die Kosinusfunktion.
Aufgrund der bisherigen Erkenntnisse gehen wir zunächst von folgender Form aus:
$g (x) = \cos (x) + 3$
Amplitude ermitteln
Als nächsten Schritt betrachten wir die Amplitude der gegeben Kosinusfunktion. Dazu müssen wir den Abstand eines Extremums zu der Ruhelage herausfinden.
Die Amplitude der Funktion hat den Wert $2$ . Das heißt, sie ist doppelt so groß wie bei der normalen Sinusfunktion. Daraus ergibt sich die vorläufige Form der Funktion:
$g (x) = 2 \cdot \cos (x) + 3$
Untersuchung der Periode
Als nächstes untersuchst du die Periode der Funktion. Dazu untersuchst du, wie viele Perioden der gegebenen Funktion in dem Intervall $[0,2 π]$ liegen. Bei der normalen Kosinusfunktion liegt in diesem Intervall genau eine Periode. Hier sind es genau zwei Perioden, da im halben Intervall $[0, π]$ eine Periode liegt. Also ist die Funktion um den Faktor $2$ gestaucht.
Ergebnis
Da die Funktion um den Faktor $2$ gestaucht ist, lautet die Funktion:
$g (x) = 2 \cdot \cos (2 x) + 3$
For this task you need the following basic knowledge: Sinus- und Kosinusfunktion
Die Ruhelage der Funktion liegt bei $y = 2$ .
Als nächstes findest du die Art der Funktion heraus. Handelt es sich bei der Funktion um einen Kosinus oder um einen Sinus?
Da die Funktion die $y$ -Achse im selben Punkt schneidet wie die Ruhelage, also in $S (0 | 2),$ handelt es sich um eine Sinusfunktion (beziehungsweise um eine verschobene Kosinusfunktion). Da es die folgenden Schritte erleichtert nehmen wir an, dass es sich um eine Sinusfunktion handelt.
Die Funktion ist fürs Erste von der Form:
Der nächste Schritt, den du machst, ist die Bestimmung der Amplitude.
Da die Extrema jeweils eine Einheit in $y$ -Richtung von der Ruhelage entfernt sind, handelt es sich um die Standard-Sinus-Amplitude.
Da die Amplitude der normalen Amplitude der Sinusfunktion entspricht, bleibt es zunächst bei der Form der Funktion:
Jetzt fehlt dir nur noch die Periode der Funktion.
Betrachte dazu zum Beispiel den $x$ -Achsenabschnitt von $0$ bis $π$ . In diesem Abschnitt befinden sich $2,5$ Perioden der Funktion. Da eine Periode der Standard-Sinus-Funktion von $0$ bis $2 π$ geht, multiplizieren wir den Wert $2,5$ mit $2$ . Damit kommen wir auf den Stauchungsfaktor $5$ .
Da die Funktion um den Faktor $5$ gestaucht ist, lautet die passende Funktion zu dem Bild:
$h (x) = \sin (5 x) + 2.$
For this task you need the following basic knowledge: Sinus- und Kosinusfunktion
Die Ruhelage der Funktion entspricht der $x$ -Achse.
Als erstes findest du heraus, ob es sich um eine Sinusfunktion oder eine Kosinusfunktion handelt.
Die Funktion schneidet die $y$ -Achse weder in einem Extrempunkt, noch im Nullpunkt. Betrachtest du aber die Parallele zur $y$ -Achse durch die Stelle $- 1$ auf der $x$ -Achse. Die Funktion schneidet in einem Maximum diese Parallele. Deshalb nehmen wir an, dass es sich um eine verschobene Kosinusfunktion handelt.
Da die Kosinusfunktion um eine Einheit nach links verschoben ist, lautet die vorläufige Funktion:
$i (x) = \cos (x + 1) .$
Jetzt ermittelst du die Amplitude der Funktion.
Der Abstand der Extrema zu der Ruhelage hat den Wert $1$ , also wird an der Amplitude der Funktion nichts geändert.
Die Amplitude ist bei der Funktion nicht manipuliert.
Als letztes fehlt dir nur noch die Periode der Funktion.
Dazu betrachten wir ein Intervall der Länge $π$ das von $- 1$ nach rechts verläuft. In diesem Intervall befinden sich $1,5$ Perioden der Funktion, also $3$ in einem Intervall von $2 π$ . Da $2 π$ die Periode der Standard-Kosinus-Funktion ist, ist die Funktion um den Faktor $3$ gestaucht.
Da die Funktion um den Faktor $3$ gestaucht ist, lautet sie:
$i (x) = \cos (3 (x + 1))$

This content is licensed under
CC BY-SA 4.0 → What does that mean? serlo.org