Exercises: Derivative, symmetry and inverse of trigonometric functions

Betrachtet man den Graphen der Funktion, dann sieht man, dass der Graph achsensymmetrisch bezüglich der $y$-Achse ist.

Betrachten der Sinus-Funktionen:

Weil die Funktion $\sin (x)$ punktsymmetrisch ist, kann man die Funktionen $3\cdot \sin (x)$ und $-3+2\cdot \sin (x)$ als Lösung ausschließen.

Bei $3\cdot \sin (x)$ wird die $\sin (x)$ Funktion in die Höhe gestreckt. Das heißt, die Funktion hat eine größere Amplitude.

Bei der Funktion $-3+2\cdot \sin (x)$ hat die $\sin (x)$ Funktion auch eine größere Amplitude und wird zusätzlich um $3$ nach unten verschoben.

Man betrachtet also nun die beiden Kosinus-Funktionen.

Die Funktion $2\cdot \cos (x+\frac{\pi }{2})$ kann man ausschließen (siehe Abbildung unten). Denn sie hat eine größere Amplitude als die gesuchte Funktion des Graphen. Zusätzlich ist sie auch noch um $\frac{\pi }{2}$ nach rechts verschoben, die Funktion des Graphen jedoch nicht.

Die gesuchte Funktion ist also $2+\cos (3\cdot x)-\pi$, da sie eine veränderte Periode hat und zusätzlich um $2-\pi$ nach unten verschoben ist ($2-\pi \approx -\mathrm{1,141}$).

Veranschaulichung der ausgeschlossenen Funktion $2\cdot \cos (x+\frac{\pi }{2})$