Exercises: Derivative, symmetry and inverse of trigonometric functions

$2\cdot \sin (x-\mathrm{\pi })=1$

Teile auf beiden Seiten der Gleichung durch $2$.

$\sin (x-\pi )=\frac{1}{2}$

Verwende die Umkehrfunktion des Sinus.

$x-\pi ={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

Löse nach $x$ auf. Betrachte hierzu den Graphen des Arkussinus und erhalte ${\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{6}.$

$\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=1$

Wende die Umkehrfunktion des Kosinus an.

$x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\cos }^{-1}(1)$

Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und lese ab, dass ${\cos }^{-1}(1)=0$.

$x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=0$

Löse die Gleichung nun nach $x$ auf.

$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

$\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1)=0$

Wende die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion an.

$x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1={\cos }^{-1}(0)$

Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und erhalte ${\cos }^{-1}(0)=\frac{\pi }{2}.$

$x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

$\begin{array}{rclll}x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1& =& {\displaystyle \frac{\pi }{2}}& & |-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\\ & & & & \\ x-1& =& 0& & |+1\\ & & & & \\ x& =& 1& & \end{array}$