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General power function

A power function is a function whose function term has the form f(x)=a⋅xsf(x)=a\cdot x^s with a,s∈Ra,s\in ℝ.

Examples

f(x)=x2f(x)=x^2  

g(x)=2x−5=2x5g(x)=2x^{-5}=\frac{2}{x^5}

h(x)=x−12=1xh(x)=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}

p(x)=15xp(x)=\frac 15 x

The graph of a power function looks quite different for different values of aa and ss. For example, it can be a graph of a polynomial (e.g. a line or a parabola), a hyperbola or the graph of a root function.

Bild

Definitionsbereich

Ist ss nicht aus den ganzen Zahlen, dann ist xsx^s für negative Zahlen nicht definiert, d.h. im Definitionsbereich sind nur positive Zahlen. Ist s<0s<0, so ist.xs=1x−sx^s=\frac{1}{x^{-s}}. Da 0 nicht im Nenner stehen darf, ist die Funktion für x=0x=0 nicht definiert, d.h. die Null muss aus dem Definitionsbereich genommen werden.

Maximaler Definitionsbereich von Potenzfunktionen:

s∈Zs\in \mathbb Z

s∉Zs \notin \mathbb Z

s≥0\bold{s\geq 0}

R\mathbb R

R0+\mathbb R_0^+

s<0\bold{s< 0}

R\{0}\mathbb R\backslash \{0\}

R+\mathbb R^+

Animation

für s∈Zs\in \mathbb Z

In der folgenden Animation siehst du, wie sich der Graph verändert für verschiedene Wert von aa und ss mit s∈Zs\in \mathbb Z. Verwende den orangen und türkisen Schieberegler, um Werte von aa und ss zu verändern.

für s∈Rs\in \mathbb R

In dieser Animation siehst du ebenfalls, wie sich der Graph verändert für verschiedene Wert von aa und ss. Hier ist ss jedoch nicht nur aus den ganzen Zahlen, sondern s∈Rs\in \mathbb R. Verwende den orangen und lila Schieberegler, um Werte von aa und ss zu verändern.

Spezialfälle

ss

aa

Beispiel

Spezialform von

s∈Z,s<0s\in \mathbb Z, s<0

a∈Ra\in\mathbb R

f(x)=5⋅x−3f(x)=5\cdot x^{-3}

s=0s=0

a∈Ra\in\mathbb R

f(x)=7f(x)=7

konstante Funktion

s=1s=1

a∈Ra\in\mathbb R

f(x)=18xf(x)=\frac1 8x

s∈Z,s>0s\in \mathbb Z, s>0

a∈Ra\in\mathbb R

f(x)=3x2f(x)=3x^2

s=1n,n∈Ns=\frac1n, n\in \mathbb N

a∈Ra\in\mathbb R

f(x)=13x15f(x)=1 3x^{\frac15}

\boldsymbol {s\in \mathbb Z} und \boldsymbol{s<0}

Der Graph ist an der Polstelle 0 zweigeteilt (nicht stetig). Ist der Exponent ungerade, gibt es dort einen Vorzeichenwechsel, bei geradem Exponenten nicht.

Die Funktion ist eine besondere gebrochen-rationale Funktion mit einem konstanten Term im Zähler f(x)=axtf(x)=\frac a {x^t} (mit t∈Z,t>0t\in \mathbb Z, t>0).

Beispiel:

f(x)=4⋅x−2=4⋅1x2=4x2f(x)=4\cdot x^{-2}=4\cdot \frac 1{x^2}=\frac 4 {x^2}

Bild

\boldsymbol {s=0}

Die Funktion verläuft konstant mit dem y-Wert aa, da x0=1x^0=1 und a⋅x0  =aa\cdot x^{0\;}=a. Die Funktion ist eine konstante Funktion.

Beispiel:

f(x)=12⋅x0=12⋅1=12f(x)=12\cdot x^0=12\cdot 1=12

Bild

\boldsymbol {s=1}

f(x)f(x) ist eine lineare Funktion der Form: f(x)=a⋅xf(x)=a\cdot x .

Bild

\boldsymbol{s\in \mathbb Z} und \boldsymbol{s>0}

Die Funktion ist ein Polynom mit nur einem Summanden.

Beispiel:

f(x)=7x2f(x)=7x^2

Bild

s=1n\boldsymbol s\boldsymbol=\frac{\mathbf1}{\mathbf n} mit \boldsymbol {n \in \mathbb N}

Die Funktion wird Potenzfunktion mit rationalem Exponenten genannt und kann zu einer Wurzelfunktion umgeformt werden.

f(x)=a⋅xs=a⋅x1n=a⋅xnf(x)=a\cdot x^s=a\cdot x^{\frac 1n}=a\cdot \sqrt[n]{x}

Beispiel:

s=13, a=1s=\frac{1}{3},\ a=1:

f(x)=1⋅x13=1⋅x3=x3f(x)=1\cdot x^{\frac{1}{3}}=1\cdot\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x}

Bild

Ableitung    

Die Ableitung der Potenzfunkton f(x)=a⋅xsf\left(x\right)=a\cdot x^s berechnest du so:

f′(x)=a⋅s⋅xs−1\displaystyle f'(x)=a\cdot s\cdot x^{s-1}

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