Exponential function

A function with the function term $f (x) = b \cdot a^{x}$ is called an exponential function. Here, $a > 0, a \neq 1$ and $b \neq 0$ .

Bei jeder Exponentialfunktion ist im Potenzterm $a^{x}$ die Basis $a$ eine fest gewählte positive reelle Zahl (ungleich $1$ ). Der Exponent enthält die Funktionsvariable $x$ . Daher die Bezeichnung "Exponentialfunktion". Der Faktor $b$ ist eine beliebige von null verschiedene reelle Zahl.

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zu diesem Thema findest du in dem Videokurs zu Exponentialfunktionen.

Beispiele für Exponentialfunktionen

$f (x) = 2^{x}$ . Hier ist $b = 1$ und $a = 2$ .
$f (x) = - 1,5 \cdot {0,8}^{x}$ . Hier ist $b = - 1,5$ und $a = 0,8$ .

Beispiele, die keine Exponentialfunktionen sind

$f (x) = x^{2}$ . Hier ist $f$ eine Potenzfunktion (sogar eine Parabel).
$f (x) = x^{0,8}$ . Hier ist $f$ eine Wurzelfunktion. Es gilt $x^{0,8} = \sqrt[5]{x^{4}}$ .
$f (x) = (- 2)^{x}$ . Hier ist $f$ z.B. für $x = 0,5$ nicht definiert und es handelt sich um keine Exponentialfunktion, weil $a = - 2 < 0$ ist.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Der maximale Definitionsbereich ist ganz $ℝ$ .
Der maximale Wertebereich ist $ℝ^{+}$ falls $b > 0$ und $ℝ^{-}$ falls $b < 0$ .
Der Graph schneidet die y-Achse bei dem Wert $b$ .
Der Graph hat die $x$ -Achse als Asymptote und hat keine Nullstelle.

Diese Eigenschaften erkennt man gut an den Graphen der Funktionen. Für $b > 0$ :

zwei sich schneidende Exponentialfunktionen mit postiven Vorfaktor

Im Fall von $b < 0$ werden die Graphen an der $x$ -Achse gespiegelt.

zwei sich schneidende Exponentialfunktionen mit negativen Vorfaktor

Veranschaulichung der Eigenschaften im GeoGebra-Applet

Benutze die Schieberegler $a$ und $b$ des nachfolgenden Geogebra-Applets, um mit dem Verlauf unterschiedlicher Exponentialfunktionen vertraut zu werden.

Überzeuge dich insbesondere davon, dass keine Exponentialfunktion der Form $f (x) = b \cdot a^{x}$ eine Nullstelle hat und dass jede den $y$ -Achsenabschnitt $(0 | b)$ besitzt.

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Exponentialfunktionen beschreiben zeitliche, exponentielle Wachstumsvorgänge und sind deshalb von erheblicher Bedeutung.

Die übliche Schreibweise der dabei betrachteten Funktionen ist $N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$ . $N_{0}$ entspricht dem Faktor $b$ und misst den Anfangswert der Veränderung. Der Wachstumsfaktor heißt $a$ .

Ist $a < 1$ , dann handelt es sich bei positivem $N_{0}$ um ein abnehmendes Wachstum.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion. Für $f (x) = a^{x}$ ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

f^{- 1} (x) = \log_{a} x .

Natürliche Exponentialfunktion

Man kann jede Exponentialfunktion auf eine natürliche Exponentialfunktion, d.h. auf eine Exponentialfunktion mit Basis $e$ , der Eulerschen Zahl, zurückführen:

f (x) = a^{x} = e^{\ln (a^{x})} = e^{x \ln (a)} .

Diese Beziehung hilft unter anderem dabei, die Ableitung zu bestimmen.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von $f (x) = a^{x}$ ist gegeben durch:

f^{'} (x) = \ln (a) \cdot a^{x}

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion $F (x)$ einer Exponentialfunktion $f (x) = a^{x}$ ist:

F (x) = \frac{1}{\ln (a)} \cdot a^{x}

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