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Logarithm function

A logarithm function is a mapping of the form

f:+,xlogb(x),

where b+ and b1 .

b is called the base of the logarithm.

The logarithm denotes the inverse function of the exponential function, so that the two functions

f(x)=bx, g(x)=logb(x)

cancel each other.

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Eigenschaften

  • Der Definitionsbereich ist +, d.h. für x dürfen nur positive, reelle Zahlen eingesetzt werden.

  • Der Wertebereich ist ganz .

  • Alle Logarithmusfunktionen haben die Nullstelle x0=1.

  • Logarithmusfunktionen haben die y-Achse als senkrechte Asymptote, genauer gilt:

    • b>1:limx0logb(x)= und limxlogb(x)=

    • 0<b<1:limx0logb(x)= und limxlogb(x)=

  • Logarithmusfunktionen sind stets monoton, genauer gilt:

    • b>1:f ist streng monoton steigend.

    • 0<b<1:f ist streng monoton fallend.

Diese Eigenschaften lassen sich leicht am Graphen der Funktion ablesen:

Vorschaubild GeoGebra
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Benutze den Schieberegler, um die verschiedenen Eigenschaften in Abhängigkeit von der Basis b zu beobachten.

Rechenregeln

Folgende Umformungen sind praktisch, um mit Logarithmen zu rechnen.

  • logb(xy)=logb(x)+logb(y)

  • logb(xy)=logb(x)logb(y)

  • logb(xa)=alogb(x)

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion. Für f(x)=logb(x) ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

f1(x)=bx

Durch diese Umkehrfunktion wird auch deutlich, warum sich der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion auf positive Zahlen beschränkt. Schließlich gibt es für ein b>0 kein x, dass

f1(x)=bx

negativ werden lässt.

Basiswechsel

Jede Logarithmusfunktion logb(x) zu einer beliebigen Basis b (mit b+, b1) kann in eine Logarithmusfunktion mit einer anderen Basis a (mit a+, a1) umgewandelt werden und andersrum. Die Formel lautet:

logb(x)=loga(x)loga(b)

Natürliche Logarithmusfunktion

Als Sonderfall eines Basiswechsels kann jede Logarithmusfunktion auf eine natürliche Logarithmusfunktion (auch: ln-Funktion), d.h. eine Logarithmusfunktion mit Basis e, der Eulerschen Zahl, zurückgeführt werden:

f(x)=logb(x)=ln(x)ln(b)=1ln(b)ln(x)

Diese Beziehung ist unter anderem wichtig zur Berechnung der Ableitung und Stammfunktion. Außerdem erkennt man hier, dass jede beliebige Logarithmusfunktion nur ein Vielfaches der ln-Funktion ist.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von f(x)=logb(x) ist gegeben durch:

f(x)=1ln(b)x

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion F(x) einer Logarithmusfunktion f(x)=logb(x) ist:

F(x)=1ln(b)(xln(x)x)

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