There are certain relationships between the trigonometric functions with regard to the derivative, symmetry and inverse function, which you can find in the table below.
( sin ( x ) ) ′ = cos ( x ) (\sin(x))'=\cos(x) ( sin ( x ) ) ′ = cos ( x )
Punktsymmetrisch zum Ursprung
sin ( − x ) = − sin ( x ) \displaystyle \sin(-x) = -\sin(x) sin ( − x ) = − sin ( x ) Arkussinus:
sin − 1 ( x ) = arcsin ( x ) \displaystyle \sin^{-1}(x)=\text{arcsin}(x) sin − 1 ( x ) = arcsin ( x ) ( cos ( x ) ) ′ = − sin ( x ) (\cos(x))' = -\sin(x) ( cos ( x ) ) ′ = − sin ( x )
Achsensymmetrisch zur y y y
cos ( − x ) = cos ( x ) \displaystyle \cos(-x) = \cos(x) cos ( − x ) = cos ( x ) Arkuskosinus:
cos − 1 ( x ) = arccos ( x ) \displaystyle \cos^{-1}(x)=\text{arccos}(x) cos − 1 ( x ) = arccos ( x ) ( tan ( x ) ) ′ = 1 + tan 2 ( x ) = 1 cos 2 ( x ) (\tan(x))' = 1 + \tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)} ( tan ( x ) ) ′ = 1 + tan 2 ( x ) = cos 2 ( x ) 1
Punktsymmetrisch zum Ursprung:
tan ( − x ) = − tan ( x ) \displaystyle \tan(-x) = -\tan(x) tan ( − x ) = − tan ( x ) Arkustangens:
tan − 1 ( x ) = arctan ( x ) \displaystyle \tan^{-1}(x)=\text{arctan}(x) tan − 1 ( x ) = arctan ( x )
Beispiel Leite die Funktion f ( x ) = cos ( x ) − 2 sin ( x ) ~f(x)=\cos(x)-2\sin(x)~ f ( x ) = cos ( x ) − 2 sin ( x )
f ′ ( x ) = ( cos ( x ) ) ′ − 2 ( sin ( x ) ) ′ f'(x)=\left( \cos(x) \right)' -2 \left(\sin(x) \right)' f ′ ( x ) = ( cos ( x ) ) ′ − 2 ( sin ( x ) ) ′
Schaue in der obigen Abbildung nach, was die Ableitung der Sinus- beziehungsweise Kosinusfunktion ist.
f ′ ( x ) = − sin ( x ) − 2 cos ( x ) f'(x)=-\sin(x)-2\cos(x) f ′ ( x ) = − sin ( x ) − 2 cos ( x )
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